Liouvilleova věta o aproximaci algebraických čísel

Liouvilleův aproximační teorém pro algebraická čísla je teorém, který říká, že algebraické iracionality nelze příliš dobře aproximovat racionálními čísly . Konkrétně, jestliže je algebraické číslo stupně a a jsou libovolná celá čísla , pak platí následující nerovnost : $\alpha$ $n>1$ $p$ $q$ $(q\neq 0)$

{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{n))))

kde je kladná konstanta, která závisí pouze na konjugovaných veličinách a je vyjádřena explicitně . $C$ $\alpha$ $\alpha$

S tímto teorémem, Liouville nejprve postavil příklady transcendentálních čísel . Takovým číslem je například číslo zastoupené například vedle rychle klesajících členů

\xi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n!)}}.

Zobecnění

Pro , Liouvilleova věta dává nezlepšitelný výsledek. Liouvilleův teorém byl totiž opakovaně posilován. $n=2$ $n\ge 3$

V roce 1909 Thue stanovil, že pro algebraická čísla stupně a nerovnosti $\alpha$ $n$ $\nu >{\frac {n}{2}}+1$

{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{\nu ))))

(*)

Siegel vylepšil Thueův výsledek tím, že ukázal, že poslední nerovnost platí

\nu >\min _{s=\{1,\;2,\;\ldots ,\;n-1\}}\left({\frac {n}{s+1}}+s \že jo)

, kde je celé číslo,

s

zejména v . Později F. Dyson prokázal platnost této nerovnosti pro . Nakonec K. Roth zjistil, že nerovnost (*) platí pro všechny . Výsledek K. Rotha je nejlepší svého druhu, protože každé iracionální číslo , algebraické nebo ne, má nekonečně mnoho racionálních aproximací , které splňují nerovnost $\nu >2{\sqrt {n}}$ $\nu >{\sqrt {2n))$ $\nu >2$ $\xi$ $p/q$

{\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2))))

Všechna výše zmíněná posílení Liouvilleovy věty mají jednu podstatnou nevýhodu - jsou neefektivní, totiž: metody jejich důkazu neumožňují zjistit, jak konstanta v nerovnosti závisí na veličinách a . $C=C(\alpha ,\;\nu )$ $\alpha$ $\nu$

Viz také

Liouville číslo

Odkazy

Michael Filaseta. Počátek transcendentálních čísel