Miquelova věta

Miquelův teorém je výrok v planimetrii související s průsečíkem tří kružnic postavených kolem vrcholů trojúhelníku. Pojmenováno po francouzském matematikovi Auguste Miquel [1] . Tato věta je jedním z několika výsledků týkajících se kruhů v geometrii získaných Michelem a publikovaných jím v Journal de mathématiques pures et appliquées .

Formulace

Dovolit být trojúhelník s libovolnými body , a respektive na stranách , a (nebo na jejich prodloužení). Popíšeme tři kružnice kolem trojúhelníků , , a Miquelův teorém říká, že tyto tři kružnice se budou protínat v jednom bodě , nazývaném Miquelův bod . Kromě toho budou tři úhly navzájem stejné (označené na obrázku). [2] [3] $ABC$ $A'$ $B'$ $C'$ $BC$ $AC$ $AB$ $AB'C'$ $A'BC'$ $A'B'C.$ $M$ $\angle MA'B,\angle MB'C,\angle MC'A$

Zvláštní případ

Pokud je Mikelův bod středem kružnice opsané trojúhelníku a průměry tří Mikelových kružnic se rovnají poloměru kružnice opsané trojúhelníku a každá ze tří Mikelových kružnic pro ně prochází společným bodem - středem kružnice trojúhelníku. opsané kružnice a také přes dva průměty tohoto středu na strany trojúhelníku a přes jeden ze tří vrcholů jsou pak poloměry tří Miquelových kružnic stejné.

Viz také

Mikelův bod – další Mikelův výsledek

Poznámky

↑ Ostermann & Wanner (2012) , str. 94.
^ Miquel, Auguste (1838), Mémoire de Géométrie , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées vol. 1: 485–487 , < http://mathdoc.emath.fr/JMPA/feuilleter.php?id=JMPA_1838_1_3 February Archi_1_3 rok 2013.
↑ Wells, 1991 , str. 184 - Wells odkazuje na Miquelovu větu jako na větu o pivotu

Literatura

Coxeter, HSM & Greitzer, S. L. (1967), Geometry Revisited , sv. 19, New Mathematical Library , Washington, DC : Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-619-2
Forder, H. G. (1960), Geometrie , Londýn: Hutchinson
Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometrie svou historií , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
Pedoe, Dan (1988), Geometrie/Komplexní kurz , Dover, ISBN 0-486-65812-0
Smart, James R. (1997), Moderní geometrie (5. vydání), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Zajímavé geometrie , New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6