Pickova věta (komplexní analýza)

Pickova věta nebo Schwarz -Pickova věta je invariantní formulací a zobecněním Schwarzova lemmatu .

Formulace

Dovolit je pravidelná analytická funkce z jednotkové kružnice do jednotkové kružnice $w=f(z)$

Q=\left\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\right\};\;f:Q\to Q.

Pak pro žádné body a kružnici vzdálenost v konformním euklidovském modelu Lobačevského roviny mezi jejich obrazy nepřesahuje vzdálenost mezi nimi: $z_{1}$ $z_{2}$ $Q$

d(w_{1},\;w_{2})\leq d(z_{1},\;z_{2}),\ \ w_{1}=f(z_{1}),\ w_{2}=f(z_{2})

Kromě toho je rovnosti dosaženo pouze tehdy, když existuje lineární zlomková funkce , která mapuje kruh na sebe. $w=f(z)$ $Q$

Protože

\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d(z,\;w)]={\frac {\left|zw\right|}{\left |1-{\overline {z}}\cdot w\right|}},

stav

d(w_{1},\;w_{2})\leqslant d(z_{1},\;z_{2})

je ekvivalentní následující nerovnosti:

\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1)))))f(z_{2}) } }\right|\leqslant {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1))}z_{2}\right| } }.

Jestliže a jsou nekonečně blízko, změní se v $z_{1}$ $z_{2}$

{\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2))}\leqslant {\frac {1}{1-\left|z \right|^{2}}}.