Hobby-Riceova věta

Hobby-Riceova věta se poprvé objevila a byla prokázána v roce 1965 [1] při zvažování otázek optimální aproximace funkcí v Labesgueově prostoru . Jednodušší důkaz věty podal Pinkus [2] v roce 1976. Také se používá v problémech spravedlivého rozdělení . $L_{1}$

Věta (upravená verze)

Rozdělme segment [0,1] posloupností čísel na podintervaly: $\{z_{i}\}$ $k+1$

0=z_{0}<z_{1}<\dotsb <z_{k}<z_{k+1}=1

Podepsaný oddíl definujeme jako oddíl, ve kterém má každý podinterval přiřazený znak : $i$ $\delta _{i}$

{\displaystyle \delta _{1},\dotsc ,\delta _{k+1}\in \left\{+1,-1\right\))

Hobby-Riceova věta říká, že pro libovolné k spojitě integrovatelných funkcí:

g_{1},\dotsc ,g_{k}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R}

existuje podepsaný oddíl segmentu [0,1] tak, že:

\sum _{i=1}^{k+1}\delta _{i}\!\int _{z_{i-1}}^{z_{i}}g_{j}(z) \,dz=0{\text{ for }}1\leqslant j\leqslant k.

(jinými slovy, pro každou z funkcí k je její integrál nad kladnými podintervaly roven integrálu nad zápornými podintervaly).

Věta v původním nastavení

Nechť existují reálné funkce v Labesgueově prostoru , kde je konečná bezatomová míra na . Pak existují , , takové, že $n$ ${\displaystyle \left\{\varphi (x)\right\}_{i=1}^{n))$ $L_{1}([0,1],\mu )$ $\mu$ $[0,1]$ ${\displaystyle \{z_{i}\}_{i=1}^{r))$ $r\leq n$ $0=z_{0}<z_{1}<\ldots <z_{r}<z_{r+1}=1$

\sum _{j=1}^{r+1}(-1)^{j}\int _{z_{j-1}}^{z_{j}}\varphi _{i}( x)d\mu (x)=0\qquad i=1,\ldots ,n

Zobecněná Hobby-Riceova věta

N. Alon v roce 1987 při řešení problému řezání náhrdelníku [3] formuloval a dokázal zobecněnou Hobby-Riceovu větu.

Nechť jsou dány spojité pravděpodobnostní míry na jednotkovém intervalu . Pak je možné jednotkový interval místy seříznout a z výsledných kusů vytvořit rodiny tak, aby pro všechny . $t$ ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{t))$ $(k-1)\cdot t$ $(k-1)\cdot t+1$ $k$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots ,F_{k))$ ${\displaystyle \mu _{i}(\cup F_{j})={1 \over k))$ $1\leq i\leq t,\ 1\leq j\leq k$

V tomto případě získáme Hobby-Riceovu větu. $k=2$

Použití v problémech spravedlivého dělení

Nechť segment [0,1] je koláč . Existuje k členů a každý z k prvků je funkcí hustoty hodnot pro jeden člen. Dort musíme rozdělit na dvě části, aby se všichni zúčastnění shodli, že části jsou stejně velké. Tento problém spravedlivého dělení se někdy nazývá problém párování [4] . Z Hobby-Riceovy věty vyplývá, že to lze provést pomocí k řezů.

Poznámky

↑ Hobby, Rice, 1965 , str. 665–670.
↑ Pinkus, 1976 , str. 82–84.
↑ Sám, 1987 , str. 247–253.
↑ Simmons, Su, 2003 , str. 15–25.

Literatura

Hobby ČR, Rice JR Momentový problém v aproximaci L 1 // Proceedings of the American Mathematical Society. - Americká matematická společnost, 1965. - Sv. 16 , iss. 4 . - doi : 10.2307/2033900 . — .
Allan Pinkus. Jednoduchý důkaz Hobby-Riceovy věty // Proceedings of the American Mathematical Society. - American Mathematical Society, 1976. - V. 60 , no. 1 . - doi : 10.2307/2041117 . — .
Noga Alon. Dělící náhrdelníky // Pokroky v matematice. - 1987. - Sv. 63 , iss. 3 . - doi : 10.1016/0001-8708(87)90055-7 .
Simmons FW, Su FE Konsensus-halving přes teorémy Borsuk-Ulam a Tucker // Matematické sociální vědy . - 2003. - Sv. 45 . - doi : 10.1016/S0165-4896(02)00087-2 . Archivováno z originálu 10. srpna 2017.