Věta o bodu hustoty

Věta o bodu hustoty je výsledkem teorie míry , kterou lze intuitivně chápat tak, že množina „hraničních bodů“ měřitelné množiny má nulovou míru.

Formulace

Označte Lebesgueovou mírou na euklidovském prostoru . Nechť je měřitelný soubor. Pro libovolný bod a zvažte hodnotu $\lambda$ $\mathbb {R} ^{n}$ $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ $x\in \mathbb{R} ^{n}$ $\varepsilon >0$

d_{\varepsilon }(x)={\frac {\lambda (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\lambda (B_{\varepsilon }(x))))

kde označuje kouli se středem v a poloměrem . Hodnotu lze interpretovat jako přibližnou hustotu množiny v bodě . $B_{\varepsilon }(x)$ $X$ $\varepsilon$ $d_{\varepsilon }(x)$ $A$ $X$

Pak

d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)

existuje a je roven 1 pro téměř každý bod . $x\v A$

Poznámky

Hodnota , pokud je definována, se nazývá hustota množiny v bodě . $d(x)$ $A$ $X$
Jinými slovy, teorém říká, že hustota jakékoli měřitelné množiny nabývá hodnoty 0 nebo 1 téměř všude v . $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$
Pokud má množina a její doplněk kladnou míru, pak budou vždy existovat body s hustotou ani 0, ani 1.

Příklady

Například je-li daný čtverec v rovině, hustota v každém bodě uvnitř čtverce je 1, na stranách 1/2, ve vrcholech 1/4 a 0 vně čtverce; hranice a vrcholy mají míru nula.

Variace a zobecnění

Věta o bodu hustoty je speciálním případem Lebesgueovy věty o diferenciaci .

Literatura

Natanson IP Teorie funkcí reálné proměnné. - M. , 1974.