Věta o existenci a jednoznačnosti pro řešení obyčejné diferenciální rovnice

Věta o existenci a jednoznačnosti pro řešení obyčejné diferenciální rovnice je věta, která popisuje množinu všech řešení obyčejné diferenciální rovnice . Je to hlavní teoretická pozice ve studiu obyčejných diferenciálních rovnic. [jeden]

Uvádí, že pro každou počáteční hodnotu z oblasti definice vždy existuje řešení rovnice s těmito počátečními hodnotami, definované na nějakém intervalu obsahujícím bod . Pokud existují dvě řešení se stejnými počátečními hodnotami , z nichž každé je definováno na vlastním intervalu obsahujícím , pak se tato řešení shodují na společné části těchto intervalů . [2] ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$ ${\vec {\tečka {y}}}={\vec {f}}(x,{\vec {y}})$ ${\vec {y}}={\vec {\varphi }}(x)$ $x_{{0}}$ ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$ ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$

Formulace

Uvažujme obyčejnou diferenciální rovnici (ODE) , kde je vektor, , je vektorová funkce vektoru a skaláru , znaménko znamená derivaci vzhledem k . Funkce a všechny jejich parciální derivace jsou definovány a spojité na otevřené množině . ${\vec {\tečka {y}}}={\vec {f}}(x,{\vec {y}})$ ${\vec {y}}=(y_{1},...,y_{n})$ ${\vec {f}}(x,{\vec {y}})=(f_{1}(x,{\vec {y}}),...,f_{n}(x, {\vec {y))))$ ${\vec {y}}$ $X$ ${\tečka {y}}$ $y$ $X$ ${\vec {f}}(x,{\vec {y}})$ ${\displaystyle {\frac {\částečné f_{i}(x,y_{1},...,y_{n})}{\částečné y_{j))))$ $i,j=1,...,n$ $\Gamma$

Pak pro každý bod , nazývaný počáteční hodnoty řešení , existuje řešení ODR , definované na nějakém intervalu obsahujícím bod a splňující podmínku , nazývanou počáteční podmínky řešení . $x_{0},{\vec {y_{0}}}\in \Gamma$ ${\vec {y}}={\vec {\varphi }}(x)$ $x_{{0}}$ ${\displaystyle {\vec {\varphi }}(x_{0})={\vec {y_{0))))$

Pokud existují dvě řešení ODR , , definovaná na vlastních intervalech hodnot proměnné , obsahující bod a takové, že , pak se tato řešení shodují, ať jsou definována kdekoli. To znamená, že pro počáteční hodnoty je definováno jedinečné řešení , které splňuje počáteční podmínku . [3] [4] ${\vec {y}}={\vec {\psi }}(x)$ ${\vec {y}}={\vec {\chi }}(x)$ $X$ $x_{{0}}$ ${\vec {\psi }}(x_{0})={\vec {\chi }}(x_{0})={\vec {y_{0}}}$ ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$ ${\vec {\varphi }}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})$ ${\vec {\varphi }}(x_{0},{\vec {y_{0}}},x_{0})={\vec {y_{0}}}$

Funkce a její parciální derivace nepřetržitě závisí na proměnných . ${\vec {\varphi }}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})$ ${\frac {{\vec {\varphi }}f_{i}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})}{\částečné y_{0}}}$ $i=1,...,n$ $x,{\vec {y_{0}}},x_{0}$

Smíšené deriváty existují, jsou spojité a nezávisí na pořadí diferenciace. [3] ${\frac {\partial ^{2}\varphi _{i}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})}{\částečné x\částečné ^{j}y_ {0}}}$ $i,j=1,...,n$ ${\displaystyle t,{\vec {x_{0))))$

Viz také

Peanova věta

Poznámky

↑ Pontryagin, 1988 , s. patnáct.
↑ Pontryagin, 1988 , s. 17-18.
↑ 1 2 Pontryagin, 1988 , s. 16-17.
↑ P.I. Lizorkin Kurz diferenciálních a integrálních rovnic s dalšími kapitolami analýzy. - M. , Nauka , 1981. - str. 86

Literatura

L.S. Pontryagin . Diferenciální rovnice a jejich aplikace. — M .: Nauka , 1988. — 208 s.