Waldova zkouška

Waldův test je statistický test používaný k testování omezení parametrů statistických modelů odhadnutých ze vzorových dat . Je to jeden ze tří základních omezovacích testů spolu s testem poměru pravděpodobnosti a testem Lagrangeova multiplikátoru . Test je asymptotický, to znamená, že pro spolehlivost závěrů je zapotřebí dostatečně velký vzorek.

Podstata a postup testu

Nechť existuje ekonometrický model s parametrem vector . Hypotézu je nutné otestovat pomocí vzorových dat , kde je množina (vektor) některých funkcí parametrů. Myšlenka testu spočívá v tom, že pokud je nulová hypotéza pravdivá, musí být vektor vzorku v určitém smyslu blízký nule. Předpokládá se, že odhady parametrů jsou alespoň konzistentní a asymptoticky normální (jako jsou např. odhady metody maximální věrohodnosti ), tzn. $b$ $H_{0}:~g(b)=0$ $G$ $g({\hat {b)))$

${\sqrt {n}}({\hat {b}}-b){\xarrowarrow {n\rightarrow \infty }}N(0,V)$

Na základě limitních teorémů tedy máme:

${\sqrt {n}}(g({\hat {b}})-g(b)){\xarrowarrow {n\rightarrow \infty }}N(0,G(b)VG(b)^{T })$

kde je jakobián (matice prvních derivací) vektoru v bodě . $G(b)={\frac {\částečné g(b)}{\částečné b))$ $g(b)$ $b$

Pak

$(g({\hat {b)))-g(b))^{T}(G(b)V_{{{\hat b))}G^{T}(b))^{{-1 }}(g({\hat {b}})-g(b)){\xarrowarrow {n\rightarrow \infty }}\chi ^{2}(q)~,~~V_{{{\hat b }}} = V/n$

Pokud je splněna nulová hypotéza ( ), pak máme $g(b)=0$

$W=g({\hat {b}})^{T}(G(b)V_{{{\hat b}}}G^{T}(b))^{{-1}}g({ \hat {b))){\xarrowarrow[ {H_{0}}]{n\arrowarrow \infty }}\chi ^{2}(q)~,~~V_{({\hat b}}}= V/n$

Toto je Waldova statistika . Protože kovarianční matice je obecně v praxi neznámá, používá se místo ní nějaký její odhad. Místo neznámých skutečných hodnot koeficientů se také používají jejich odhady . V praxi tedy dostáváme přibližnou hodnotu , takže Waldův test je asymptotický , to znamená, že pro správné závěry je potřeba velký vzorek. $PROTI$ $b$ ${\hat b}$ $W$

Pokud je tato statistika větší než kritická hodnota na dané hladině významnosti , pak je hypotéza omezení zamítnuta ve prospěch neomezeného modelu ("dlouhý model"). V opačném případě může dojít k omezením a je lepší postavit model s omezeními, nazývaný „krátký model“. $\chi _{{\alpha }}^{2}(q)$ $\alpha$

Je třeba poznamenat, že Waldův test je citlivý na způsob formulování nelineárních omezení. Například jednoduché omezení rovnosti dvou koeficientů lze formulovat jako rovnost jejich poměru k jedné. Pak mohou být výsledky testu teoreticky různé, navzdory tomu, že hypotéza je stejná.

Speciální případy

Pokud jsou funkce lineární, to znamená, že se testuje hypotéza následujícího typu , kde je nějaká matice omezení, je nějaký vektor, pak je v tomto případě matice pevná matice . Pokud mluvíme o klasickém lineárním regresním modelu, pak je kovarianční matice odhadů koeficientů . Protože rozptyl chyby není znám, použije se buď jeho konzistentní odhad , nebo nezkreslený odhad . Waldova statistika má tedy tvar: $G$ $H_{0}:~Ab=a$ $A$ $A$ $G(b)$ $A$ $V_{{{\hat {b}}}}=\sigma ^{2}(X^{T}X)^{{-1}}$ $\sigma ^{2}$ ${\hat {\sigma }}^{2}=ESS/n$ $s^{2}=ESS/(nk)$

$W=(A{\hat {b}}-a)^{T}(A(X^{T}X)^{{-1}}A^{T})^{{-1}}(A {\hat {b}}-a)/s^{2}$

V konkrétním případě, když je matice omezení jednoduchá (to znamená, že se kontroluje rovnost koeficientů k některým hodnotám), vzorec se zjednoduší:

$W=({\hat {b}}-a)^{T}(X^{T}X)({\hat {b}}-a)/s^{2}$

Pokud je uvažováno pouze jedno lineární omezení , pak bude Waldova statistika rovna $c^{T}b=a$

$W=(c^{T}ba)^{2}/(s^{2}c^{T}(X^{T}X)^{{-1}}c)$

V tomto případě se Waldova statistika rovná druhé mocnině -statistiky. $t$

Lze ukázat, že Waldova statistika pro klasický lineární model je vyjádřena pomocí součtů kvadrátů reziduí dlouhých a krátkých modelů následovně

$W={\frac {ESS_{S}-ESS_{L}}{ESS_{L}/n}}$ ,

kde index odkazuje na dlouhý model (dlouhý) a na krátký (krátký). Pokud se použije nezkreslený odhad rozptylu chyby, pak je nutné ve vzorci použít místo . $L$ $S$ $n$ $(nk)$

Konkrétně, abychom otestovali významnost regrese jako celku , získáme pro Waldovu statistiku následující vzorec $ESS_{S}=TSS$

$W={\frac {TSS-ESS}{ESS/n}}=n{\frac {1-ESS/TSS}{ESS/TSS}}={\frac {nR^{2}}{1-R^ {2}}}$

kde je koeficient determinace . $R^2$

Vztah k jiným testům

Je prokázáno, že Waldův test (W), věrohodnostní test (LR) a Lagrangeův multiplikační test (LM) jsou asymptoticky ekvivalentní testy ( ). U konečných vzorků se však hodnoty statistik neshodují. Pro lineární vazby je nerovnost dokázána . Waldův test tedy častěji než jiné testy odmítne nulovou hypotézu o omezeních. V případě nelineárních omezení je první část nerovnosti splněna, zatímco druhá část obecně ne. $LM=LR=W$ $LM\leqslant LR\leqslant W$

Místo Waldova testu můžete použít F-test , jehož statistiky se počítají podle vzorce:

$F={\frac {nk}{q}}W/n$

nebo ještě jednodušší , pokud byl při výpočtu Waldovy statistiky použit nezaujatý odhad rozptylu. Tato statistika má obecně asymptotické Fisherovo rozdělení . V případě normálního rozdělení dat pak na konečných vzorcích. $F=W/q$ $F(q,nk)$

Literatura

Magnus Ya. R., Katyshev P. K., Peresetsky A. A. Econometrics. - M. : Delo, 2004. - 576 s.
William H. Greene. Ekonometrická analýza . - New York: Pearson Education, Inc., 2003. - 1026 s.