Poiseuilleův proud

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. září 2021; kontroly vyžadují 6 úprav .

Poiseuilleovo proudění je laminární proudění tekutiny kanálky ve formě přímého kruhového válce nebo vrstvy mezi rovnoběžnými rovinami. Poiseuilleův tok je jedním z nejjednodušších přesných řešení Navier-Stokesových rovnic . Popsáno zákonem Poiseuille (také nazývaným Hagen-Poiseuille nebo Hagen-Poiseuille zákon).

Prohlášení o problému

Uvažujeme ustálený proud nestlačitelné kapaliny o konstantní viskozitě v tenké válcové trubici kruhového průřezu při působení konstantního tlakového rozdílu . Pokud předpokládáme, že proudění bude laminární a jednorozměrné (s pouze složkou rychlosti směřující podél kanálu), pak rovnice je napsána následovně: je řešena analyticky,

v={\frac {p_{1}-p_{2}}{4\eta L}}R^{2},

kde

$proti$ je rychlost tekutiny podél potrubí;
$r$ — vzdálenost od osy potrubí;
$R$ - poloměr potrubí ;
$p_{1}-p_{2}$ - tlakový rozdíl na vstupu a výstupu potrubí;
$\eta$ je viskozita kapaliny;
$L$ - délka potrubí.

pokud celý proud rozdělíme na elementární proudové válce, pak můžeme vypočítat rychlost laminárního proudění pro každý válec odečtením proudění vnitřního kruhu od proudění celého potrubí (vnějšího kruhu):

v\left(r\right)={\Bigr (}{\frac {p_{1}-p_{2}}{4\eta L}}R^{2}{\Bigr )}-{ \Bigr (}{\frac {p_{1}-p_{2}}{4\eta L}}r^{2}{\Bigr )}={\frac {p_{1}-p_{2}} {4\eta L}}(R^{2}-r^{2}),

kde je vnitřní poloměr válce; $r$

Hodnota rychlosti podél podélného řezu má parabolickou závislost. Obrázek výše ukazuje parabolický profil (často nazývaný Poiseuilleův profil ) - rozložení rychlosti v závislosti na vzdálenosti k ose kanálu:

Stejný profil v odpovídající notaci má rychlost při proudění mezi dvěma nekonečnými rovnoběžnými rovinami. Tento tok se také nazývá Poiseuilleův tok.

Poiseuilleův zákon (Hagain-Poiseuille)

Poiseuilleova rovnice nebo zákon (Hagain-Poiseuilleův zákon nebo Hagenův-Poiseuilleův zákon) je zákon, který určuje rychlost proudění tekutiny při ustáleném toku viskózní nestlačitelné tekutiny v tenké válcové trubici kruhového průřezu.

Poprvé zformuloval Gotthilf Hagen ( Ger . Gotthilf Hagen , někdy Hagen ) v roce 1839 na základě experimentálních dat a brzy znovu přinesl J. L. Poiseuille ( Fr. J. L. Poiseuille ) v roce 1840 (také na základě experimentu). Podle zákona je druhý objemový průtok kapaliny úměrný poklesu tlaku na jednotku délky trubky ( tlakový gradient v potrubí) a čtvrté mocnině poloměru (průměru) potrubí:

Q=\int \limits _{{S}}v\left(r\right)dS=2\pi \int \limits _{0}^{R}v\left(r\right)rdr={\frac {\pi D^{4}(p_{1}-p_{2})}{128\eta L))={\frac {\pi R^{4}(p_{1}-p_{2}) }{8\eta L}},

kde

$Q$ — proudění kapaliny v potrubí
$D$ — průměr potrubí

Poiseuilleův zákon funguje pouze pro laminární proudění a za předpokladu, že délka trubice přesahuje tzv. délku počátečního úseku, která je nezbytná pro rozvoj laminárního proudění v trubici s parabolickým rychlostním profilem.

Vlastnosti

Poiseuillovo proudění je charakterizováno parabolickým rozložením rychlosti podél poloměru trubky.
V každém průřezu trubky je průměrná rychlost poloviční než maximální rychlost v tomto úseku.

Variace a zobecnění

Existuje zobecnění vzorce Poiseuilleova zákona pro válcovou trubku s eliptickým řezem. Z tohoto vzorce vyplývá další vzorec Poiseuilleova zákona pro pohyb tekutiny mezi dvěma rovnoběžnými rovinami (když hlavní poloosa elipsy směřuje k nekonečnu). K dispozici jsou vzorce pro zákon rozdělení rychlostí proudění tekutiny a pro rychlost proudění tekutiny za jednotku času přes jednotku plochy. První dvojice vzorců je v díle B. M. Yavorského a A. A. Detlafa „Handbook of Physics“ [1] . Druhá dvojice vzorců je uvedena v knize G. Eberta „Concise reference book on Physical: a reference edition“ [2] .

Viz také

Literatura

Kasatkin AG Základní procesy a přístroje chemické technologie. - M.: GHI, - 1961. - 831 s.
B. M. Javorskij, A. A. Detlaf. Příručka fyziky. - M. , 1978.
Ebert, G. Stručná referenční kniha o fyzice: referenční vydání / přel. z 2. něm vyd. [N. M. Shikunina]; vyd. K. P. Jakovleva. - M. : Fizmatgiz, 1963. - 552 s.

Odkazy

Práce poslance Volaroviče Poiseuille o proudění tekutin v potrubí (ke stého výročí vydání) // Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Fyzická řada. 1947, díl 11, č. 1