Trojúhelníková kvantová studna

Trojúhelníková kvantová studna je jedním z jednoduchých potenciálních profilů v kvantové mechanice , umožňující přesné řešení problému hledání energetických hladin a vlnových funkcí nosiče náboje .

Jednorozměrná trojúhelníková potenciálová jáma je na jedné straně ohraničena nekonečně vysokou potenciálovou stěnou ( at ) a na druhé straně nekonečně vysokou nakloněnou potenciálovou bariérou v . Tento druh potenciální energie odpovídá rovnoměrnému poli působícímu na částici silou [1] . Příklady takových polí jsou rovnoměrné elektrické pole ( je náboj částice, je síla elektrického pole ) [2] a gravitační pole gravitace ( je hmotnost částice, je gravitační zrychlení ) [3] . $U(x)\arrowarrow +\infty$ $-\infty <x\leqslant 0$ $0<U\left(x\right)=Fx<+\infty$ $0<x<+\infty$ $U(x)$ $-F=dU/dx$ $U\left(x\right)=q\mathrm {E} _{el}x\geq 0$ $q$ ${\displaystyle \mathrm {E} _{el))$ $U\left(x\right)=mgx$ $m$ $G$

Řešení

Schrödingerovu rovnici a její okrajové podmínky v tomto jednorozměrném případě lze zapsat jako [1] :

{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {2m^{*}}{\hbar \;^{2}}} (E-Fx) \psi =0\,,

\psi (x=0)=0,\qquad \psi (x\rightarrow +\infty )\rightarrow 0\,.

Zde je efektivní hmotnost částice, je redukovaná Planckova konstanta a je požadovaná energie a vlnová funkce částice. $m^{*}$ $\hbar$ $E$ $\psi$

Pro zjednodušení další úvahy je zavedena bezrozměrná proměnná [1]

\xi =\alpha \left(x-{\frac {E}{F))\right),

kde

\alpha =\left({\frac {2mF}{\hbar \;^{2}}}\right)^{1/3}

Pak bude mít Schrödingerova rovnice tvar Airyho rovnice :

\psi ''(\xi )-\xi \psi (\xi )=0\,.

Řešení této rovnice splňující podmínku má tvar: $\psi (\xi \rightarrow +\infty )\rightarrow 0$

\psi (\xi )=CAi(\xi )\,,

kde je funkce Airy 1. druhu, je definována takto: $AI$

Ai(\xi )={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{+\infty }\cos \left({{\frac {u^ {3}}{3}}+u\xi }\right)\,du\,.

Vlastní hodnoty energie částic ( ) v trojúhelníkové jamce jsou určeny z první okrajové podmínky ${\displaystyle E=E_{n))$ $n=1,\,\,2,..$

\psi (x=0)=\psi _{n}\left(\xi _{n}=-\alpha {\frac {E_{n}}{F}}\right)=0\, ,

kde jsou nuly funkce Airy. Prvních pět nul je přibližně stejných: , , , , . Pro velké nuly Airyho funkce jsou určeny výrazem: $\xi _{n}=-a_{n}$ $a_{1}=2,33810741$ $a_{2}=4,08794944$ $a_{3}=5,52055983$ $a_{4}=6,78670809$ $a_{5}=7,94413359$ $n\gg 1$

a_{n}\approx \left[{\frac {3\pi }{2}}\,\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\right]^{2 /3}\,.

Hodnoty konstant jsou zjištěny z podmínky normalizace vlnové funkce [4] $C_{n}$

\int \limits _{0}^{\infty }{dx}{{\left|\psi _{n}\left(x\right)\right|}^{2}}=1

Výpočet integrálu [5]

{\begin{aligned}&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\int \limits _{-{{a}_{n}}}^{\infty } {d\xi }A{{i}^{2}}\left(\xi \right)=\\&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}\left[\xi A{{i}^{2}}\left(\xi \right)-{{\left(A{i}'\left(\xi \right)\right)}^{2}}\right]_ {\xi =-{{a}_{n}}}^{\infty }=\\&C_{n}^{2}{{\alpha }^{-1}}{{\left(A{i }'\left(-{{a}_{n}}\right)\right)}^{2}}=1,\\\end{aligned}}

nalézt

{{C}_{n}}={\frac {{\alpha }^{1/2}}{Ai'\left(-{{a}_{n}}\right))),

kde je derivace funkce Airy. V důsledku toho najdeme vlnové funkce a diskrétní energetické spektrum pro trojúhelníkovou potenciálovou studnu ve tvaru: $Ai'(\xi )$

{{\psi }_{n}}\left(x\right)={\frac {{\alpha }^{1/2}}{A{i}'\left(-{{a} _{n}}\right)}}Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right);

E_{n}={\frac {Fa_{n}}{\alpha }}={\frac {\hbar ^{2}\alpha ^{2}a_{n}}{2m^{*} }}.

Funkce jsou ortogonální [6] : $\psi _{n} (x)$

${\begin{aligned}&{{C}_{n}}{{C}_{m}}\int \limits _{0}^{\infty }{dx}Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)Ai\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)=\\&{\frac {{{C}_{n} }{{C}_{m))}{\alpha \left({{a}_{m}}-{{a}_{n}}\right)}}\times \left[A{i} '\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)Ai\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)-\right.\\&\left. Ai\left(\alpha x-{{a}_{n}}\right)A{i}'\left(\alpha x-{{a}_{m}}\right)\right]_{x =0}^{\infty }=0\\\end{aligned}}$

v . Pro uvažovanou studnu neexistuje žádný koncept "šířky", protože vlnové funkce mohou být nenulové pro libovolně velké . Šířka klasicky přístupné ( ) oblasti se zjistí z podmínky $n\neq m$ $X$ $E>U(x)$

U(x_{n})=Fx_{n}=E_{n}

a je

x_{n}={\frac {a_{n}}{\alpha }}.

Aplikace výsledků

Uvažovaný problém nabyl na významu při studiu dvourozměrných elektronových plynových systémů v inverzních vrstvách v blízkosti rozhraní dielektrika a polovodiče. Ačkoli v takových systémech je profil vodivostního pásma v polovodiči komplikovanější než lineární a diskontinuita vodivého pásu na heterorozhraní není nekonečná, bezprostředně blízko této hranice je jamka považována za přibližně trojúhelníkovou a diskontinuita pásma je dostatečně velká.

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 Landau L. D., Lifshitz E. M. Kapitola III. Odstavec 25. Pohyb v homogenním poli. // Kvantová mechanika. Nerelativistická teorie . - Moskva: Nauka, 1989. - S. 100. - 768 s. - ISBN 5-02-014421-5 . (Ruština)
↑ V. N. Neverov, A. N. Titov. Část 1. Kapitola 1. 1.4. Typy nízkorozměrných systémů. // Fyzika nízkorozměrných systémů . — Jekatěrinburg: Státní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání „Uralská státní univerzita. A. M. Gorkij", 2008. - S. 17. - 232 s.
↑ Z. Flügge. Úloha 40. Volný pád v blízkosti zemského povrchu // Problémy z kvantové mechaniky / ed. A. A. Sokolová. - Moskva: Mir, 1974. - T. 1. - S. 100. - 340 s. (Ruština)
↑ Landau L. D., Lifshitz I. M. Kapitola 1. Základní pojmy kvantové mechaniky // Kvantová mechanika (nerelativistická teorie). - Moskva: Věda. Ch. vyd. fyzika a matematika lit., 1989. - T. 3. - S. 20. - 768 s. - ISBN 5-02-014421-5 .
↑ Olivier Vallee, Manuel Soares. Část 8. Aplikace pro kvantovou fyziku // AIRY FUNCTIONS AND APPLICATIONS TO FYSICS (anglicky) . - London: Imperial College Press, 2004. - S. 139. - 194 s. — ISBN 1-86094-478-7 .
↑ Olivier Vallee, Manuel Soares. Část 3. Primitiva a integrály vzdušných funkcí // VZDUCHOVÉ FUNKCE A APLIKACE VE FYZICE (anglicky) . - London: Imperial College Press, 2004. - S. 47. - 194 s. — ISBN 1-86094-478-7 .

Literatura

Ando T., Fowler A, Stern F. Elektronické vlastnosti dvourozměrných systémů. Za. z angličtiny. - M .: Mir, 1985. - 416 s.
Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantová mechanika (nerelativistická teorie). - 6. vydání, přepracované. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 800 s. - ("Teoretická fyzika", svazek III). — ISBN 5-9221-0530-2 .

Odkaz

Trojúhelníková studna

Modely kvantové mechaniky
Jednorozměrný bez rotace	volná částice Jáma s nekonečnými stěnami Obdélníková kvantová studna delta potenciál Trojúhelníková kvantová studna Harmonický oscilátor Potenciální odrazový můstek Pöschl-Teller potenciál dobře Upravený potenciál Pöschl-Teller Částice v periodickém potenciálu Dirac potenciální hřeben Částice v prstenu
Multidimenzionální bez rotace	kruhový oscilátor Ion molekuly vodíku Symetrický top Sféricky symetrické potenciály Woods-saský potenciál Keplerov problém Potenciál Yukawa Morseův potenciál Hulthenův potenciál Molekulární potenciál Kratzera Exponenciální potenciál
Včetně spinu	atom vodíku Hydridový iont atom helia