Tropická geometrie

Tropická geometrie je pole v matematice , které se objevilo v roce 2000 , původně vzniklo v informatice a je spojeno s algebraickou a symplektickou geometrií . Objekty v něm studované jsou limitem amébových obrazů běžných algebraických variet pod jejich degenerací. [jeden]

Název "tropický" ctí brazilskou školu [1] - průkopnické dílo brazilského matematika maďarského původu Imre Shimona [2] [3] [4] , který studoval tropický semiring v souvislosti s informatikou a optimalizací teorie [5] .

Bez ohledu na brazilskou školu termín „tropický“ používá pro stejné odvětví matematiky od poloviny 80. let 20. století V.P. Maslov . Podle něj „idempotentní (tropická) analýza“ prostřednictvím média termodynamiky popsala z ekonomického hlediska evropskou kolonizaci tropické Afriky . Pojem „idempotentní“ se ve vědecké komunitě neujal a výraz „tropický“ ve vztahu k nové matematice, jako harmoničtější a prostornější, se ukázal být velmi populární, ačkoli různé školy tomu dávají různé významy [6 ] [7] .

Základní pojmy

Tropické polopole (nebo tropické polopole ) - sada reálných čísel , vybavená operacemi tropického sčítání a tropického násobení $\mathbb {R}$ $\oplus$ $\odot$

x\oplus y=\max(x,y),\quad x\odot y=x+y.

Tropický polynom stupně na rovině je po částech afinní funkcí formy $d$

f(x,y)=\bigoplus _{{i+j\leq d}}\,a_{{i,j}}\odot x^{{\odot i}}\odot y^{{\odot j }}=\max _{{i+j\leq d}}(ix+jy+a_{{i,j}}).

Podobně je tropický polynom v obecném případě po částech afinní funkcí formy

f(x_{1},\tečky ,x_{n})=\bigoplus _{{|J|\leq d}}\,a_{{J}}\odot x^{{\odot J}}=\ max _{{|J|\leq d}}\,(a_{{J}}+\součet _{i}J_{i}x_{i}).

Tropická křivka na rovině odpovídající danému tropickému polynomu stupně je graf na rovině, jejíž vrcholy a hrany (konečné a nekonečné) tvoří množinu bodů nehladkosti funkce . Hrany tohoto grafu jsou považovány za vybavené násobnostmi: hrana oddělující oblasti linearity odpovídající množině stupňů a je opatřena násobností rovnou největšímu společnému děliteli rozdílů a . $F$ $d$ $F$ $(i,j)$ $(i',j')$ $ii'$ $jj'$
Konkrétně tropická přímka je spojením tří paprsků vycházejících z určitého bodu a směřujících dolů, doleva a doprava nahoru pod úhlem 45°. Tropické čáry mají vlastnosti podobné vlastnostem běžných čar: přesně jedna tropická čára prochází libovolnými dvěma body v obecné poloze a dvě tropické čáry v obecné poloze se protínají v jediném bodě. $(x_{0}, y_{0})$

Poznámky

↑ 1 2 Itenberg, Mikhalkin, Shustin. Tropická algebraická geometrie, 2009 , str. vii.
↑ Archivovaná kopie (odkaz není dostupný) . Datum přístupu: 8. ledna 2012. Archivováno z originálu 26. září 2006. (neurčitý)
↑ Math.dvi . Získáno 8. ledna 2012. Archivováno z originálu 5. března 2016. (neurčitý)
↑ http://theor.jinr.ru/~belyov/articles/Litvinov_dequantize.pdf (nepřístupný odkaz)
↑ Zdroj . Získáno 8. ledna 2012. Archivováno z originálu 23. ledna 2012. (neurčitý)
↑ Zdroj . Staženo 10. července 2020. Archivováno z originálu dne 13. července 2020. (neurčitý)
↑ O tropické analýze | SpringerLink . Staženo 10. července 2020. Archivováno z originálu dne 10. července 2020. (neurčitý)

Literatura

Itenberg I., Mikhalkin G., Shustin E. Tropická algebraická geometrie . - Basilej: Springer , 2009. - viii + 104 s. — (Semináře Oberwolfach).

M. E. Kazaryan . Tropická geometrie . - M. : MTSNMO, 2012. - 43 s. — (Letní škola „Moderní matematika“). - 1000 výtisků. - ISBN 978-5-94057-966-3 .