Universum Grothendieck

Vesmír Grothendieck v matematice je neprázdná množina , takže: ${\mathcal {U}}$

jestliže a , pak ; $x\in {\mathcal {U}}$ $y\in x$ $y\in {\mathcal {U}}$
jestliže , pak ; $x,y\in {\mathcal {U}}$ $\{x,y\}\in {\mathcal {U}}$
jestliže , pak ; $x\in {\mathcal {U}}$ ${\mathcal {P}} (x)\in {\mathcal {U}}$
if je rodina prvků a , pak . $(x_{i},i\in I)$ ${\mathcal {U}}$ $I\in {\mathcal {U}}$ $\bigcup _{i\in I}x_{i}\in {\mathcal {U}}$

Vesmíry Grothendieck se používají v teorii kategorií jako alternativa ke správným třídám . Myšlenka vesmírů patří Alexandru Grothendieckovi , který je poprvé popsal a aplikoval v teorii toposů na semináři SGA [1] .

Vlastnosti

Následující vlastnosti vesmírů Grothendieck vyplývají bezprostředně z definice:

if , pak jednoprvková množina také patří do ; $x\in {\mathcal {U}}$ $\{X\}$ ${\mathcal {U}}$
jestliže a je podmnožinou v , pak ; $x\in {\mathcal {U}}$ $y$ $X$ $y\in {\mathcal {U}}$
jestliže , pak objednaný pár také patří k ; $x,y\in {\mathcal {U}}$ $(x,y)$ ${\mathcal {U}}$
jestliže , pak spojení a kartézský součin patří k ; $x,y\in {\mathcal {U}}$ $x\cup y$ $x\times y$ ${\mathcal {U}}$
if je rodina prvků a , pak ; $(x_{i},i\in I)$ ${\mathcal {U}}$ $I\in {\mathcal {U}}$ $\prod _{i\in I}x_{i}\in {\mathcal {U}}$
if , pak (zejména vesmír Grothendieck není svým vlastním prvkem). $x\in {\mathcal {U}}$ $card(x)<card({\mathcal {U}})$

Axiom o vesmírech

SGA4 zavádí následující axiom o vesmírech:

Pro jakoukoli množinu existuje vesmír takový, že . $X$ ${\mathcal {U}}$ $x\in {\mathcal {U}}$

Související definice

Nechť je vybrán nějaký vesmír Grothendieck . ${\mathcal {U}}$

Množina se nazývá - small if ; $X$ ${\mathcal {U}}$ $x\in {\mathcal {U}}$
Kategorie se nazývá - malá , pokud jsou množiny jejích objektů a morfismů -small; ${\mathbf {C}}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$
Kategorie se nazývá lokálně malá , pokud jsou všechny její domovské množiny -small. ${\mathbf {C}}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$

Zejména kategorie všech -small souborů není -small, ale je lokálně -small. ${\mathcal {U}}-\mathbf {Set}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$

Poznámky

↑ Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas, Volume 1, Théorie des Topos . Získáno 21. dubna 2016. Archivováno z originálu 18. dubna 2018. (neurčitý)