Wiener-Hopfova rovnice

Wiener-Hopfova rovnice je lineární integrální rovnice s diferenčním jádrem na kladné poloose:

\beta \varphi (x)=\lambda \int _{0}^{\infty }K(xs)\varphi (s)\,ds+f(x),

kde je požadovaná funkce ; , jsou známé funkce, jsou parametry. Kdy se nazývá Wiener-Hopfova rovnice 1. druhu, kdy se nazývá Wiener-Hopfova rovnice 2. druhu. Získali jej Wiener a Hopf při řešení problému radiační rovnováhy uvnitř hvězd. Používá se také v kybernetice , při řešení problémů extrahování a filtrování užitečného signálu z jeho směsi se šumem. $\varphi(x)$ $f(x)$ $K(xs)$ $\lambda ,\beta$ $\beta=0$ $\beta=1$

Metoda řešení

Pro řešení, tzv. jednosměrné funkce a rovné a pro x>0 a rovné 0 pro x<0 a funkce rovné 0 pro x>0. Pomocí jednosměrných funkcí je rovnice zapsána ve tvaru: . Pomocí jednostranných funkcí je tedy obor definice rovnice rozšířen na zápornou poloosu. Poté je aplikována přímá Fourierova transformace . Pro obrazovou rovnici je řešena Riemannova okrajová úloha, tzn. funkce a jsou definovány . Řešením integrální rovnice je inverzní Fourierova transformace funkce : . $\varphi _{+}(x)$ $f_{+}(x)$ $\varphi(x)$ $f(x)$ $\varphi _{-}(x)$ $\beta \varphi _{+}(x)=\lambda \int _{-\infty }^{+\infty }K(xs)\varphi _{+}(s)\,ds+f_{ +}(x)+\varphi _{-}(x)$ $\varphi ^{\pm }(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi _{\pm }(x)e^{iux}dx$ $\varphi ^{+}(u)={\frac {f^{+}+\varphi ^{-}}{\beta -\lambda K^{*}(u)))$ $\varphi ^{-}$ ${\displaystyle \varphi ^{+))$ ${\displaystyle \varphi ^{+))$ $\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{+}(u)e^ {-iux}du$

Literatura

Fyzická encyklopedie. T.1. Hlavní editor A.M. Prochorov. encyklopedie M. Sov. 1988.
N. Wiener "Jsem matematik" M.: Nauka, 1964, V 48 51 (09) MDT 510 (092), 353 stran s ilustracemi, kap. 6 „Tvůrčí úspěchy a radosti. 1927-1931", s. 120-143;
Samoilenko V. I., Puzyrev V. A., Grubrin I. V. "Technická kybernetika", učebnice. příspěvek, M., nakladatelství MAI , 1994, 280 stran s ilustracemi, ISBN 5-7035-0489-9 , LBC 14.2.5 C 17 MDT 621.396.6, kap. 3 „Syntéza lineárních systémů. Optimální systémy“, s. 3.3 „Optimalizace systémů podle kritéria ISCED. Wiener-Hopfovy rovnice.», s. 60-63;
A. V. Manzhirov, A. D. Polyanin „Příručka integrálních rovnic. Solution Methods“, M., Factorial Press, 2000, 384 stran, ISBN 5-88688-046-1 , LBC 517.2 M 23 MDT 517.9, kap. 5 „Metody řešení integrálních rovnic“, s. 5.9-1 „Wiener-Hopfova rovnice druhého druhu“.
Myshkis A.D. "Matematika pro technické univerzity", spec. kurzy, 2. vyd., Petrohrad, nakladatelství Lan, 2002, 640 s., ISBN 5-8114-0395-X , kap. 7 "Integrální rovnice", položka 4 "Některé speciální třídy rovnic", položka 8 "Fredholmova rovnice s diferenčním jádrem na poloose".
Gokhberg I. Ts., Feldman I. A. Rovnice v konvolucích a promítací metody pro jejich řešení, M., nakladatelství "Nauka", 1971, 352 s.