Fluktuačně-disipační teorém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. října 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Věta o fluktuaci-disipaci [1] je teorém statistické fyziky , který spojuje fluktuace systému (jejich spektrální hustotu ) s jeho disipativními vlastnostmi. PDT je odvozena z předpokladu, že odezva systému na malou vnější akci má stejnou povahu jako reakce na spontánní výkyvy.

Fluktuačně-disipační teorém umožňuje vypočítat vztah mezi molekulární dynamikou systému ve stavu termodynamické rovnováhy a makroskopickým chováním systému pozorovaným při dynamických měřeních. Modely systému na molekulární úrovni tak mohou být použity ke kvantitativní predikci lineárních makroskopických vlastností materiálů.

Odchylka chování (i nerovnovážných) systémů od fluktuačně-disipačního teorému je důvodem pro publikace v předních vědeckých časopisech. [2]

Formulace

Pokud lze reakci na vnější vliv reprezentovat jako $x(t)$ $f(t)$

x(t)=\int \alpha (\tau)f(t-\tau)d\tau

nebo

{\tilde x}(\omega )={\tilde \alpha }(\omega ){\tilde f}(\omega)

pak podle rovnice 124.9 ze svazku „Statistická mechanika“ (L. D. Landau a E. M. Lifshits) [3] spektrální hustota fluktuací termodynamické veličiny souvisí s imaginární částí zobecněné susceptibility takto: $S_{x}$ $\alpha ''(\omega )=\mathrm {Im} \,{\tilde {\alpha }}(\omega )$

S_{x}(\omega )=\hbar \alpha ''(\omega )\coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right)

zatímco střední kvadratická fluktuace termodynamické veličiny $\langle x^{2}\rangle$

\langle x^{2}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\hbar \alpha ''(\omega )\coth(\hbar \omega /2k_{B}T) {\frac {d\omega }{2\pi }}

Je snadné vidět, že v klasickém případě ( ) se vzorec stává $k_{B}T\gg \hbar \omega$

S_{x}(\omega )={\frac {2k_{B}T}{\omega }}\alpha ''(\omega )

a v kvantech ( ) $T\šipka doprava 0$

S_{x}(\omega )=\hbar \alpha ''(\omega )

Za zmínku také stojí, že jelikož spektrální hustota stacionárního procesu musí být rovnoměrná, často se místo spektrální hustoty používá jednostranná spektrální hustota , která je definována pouze pro kladnou frekvenční poloosu. Taková spektrální hustota je již integrována od do . $S_{x}$ $S_{x}^{+}=2S_{x}$ $0$ $\infty$

Příklady

Brownův pohyb

Einstein ve svém článku o Brownově pohybu ( 1905 ) poznamenal, že stejné náhodné síly, které způsobují náhodnou procházku v Brownově pohybu, také způsobují viskózní tření působící na částice, když se pohybují tekutinou. Jinými slovy, kolísání souřadnic částic vzhledem k jejich klidové poloze má stejnou povahu jako disipativní třecí síla, která musí být překonána, aby se systém změnil v určitém směru.

Ze svých pozorování pomocí metod statistické fyziky odvodil neočekávanou souvislost mezi parametry systému - Einstein-Smoluchowskiho vztah :

D={\mu \,k_{B}T}

vztahující se k D , difúznímu koeficientu a μ , pohyblivosti částice ( μ je vyjádřeno jako poměr rychlosti částice k použité síle, μ = v d / F ), je Boltzmannova konstanta a T je absolutní teplota . $k_{B}$

Nyquistův vzorec

V roce 1928 John B. Johnson objevil a Harry Nyquist vysvětlil fenomén tepelného šumu . V nepřítomnosti proudu protékajícího elektrickým odporem závisí RMS napětí na odporu a šířce měřicího pásma : $R$ $k_{B}T$ $\Delta \nu$

\langle V^{2}\rangle =4Rk_{B}T\Delta \nu

. Závěr

V elektrických vodičích jsou nejstabilnější fluktuace ty, které vedou ke vzniku stojatého vlnění . Počet stojatých elektromagnetických vln o frekvenci od do ve vodiči délky , s přihlédnutím k polarizaci, je roven . Předpokládáme, že každá stojatá vlna má energii odpovídající energii harmonického oscilátoru. Pak bude energie stojatého vlnění s frekvencí od do . Výkon na jednotku délky řetězu je . Veškerá energie fluktuačních proudů se na odporu opět mění v teplo. Ztráta výkonu na jednotku délky vodiče s odporem podle Joule-Lenzova zákona je , kde je střední čtverec fluktuačního EMF pro vlny s frekvencí . Dostaneme Nyquistův vzorec [4] . $\nu$ $\nu +d\nu$ $L$ $dn(\nu )=2\cdot {\frac {2Ld\nu }{c}}$ $k_{B}T$ $\nu$ $\nu +d\nu$ $dE(\nu )=4\cdot {\frac {L}{c}}d\nu k_{B}T$ $dW={\frac {dE(\nu )}{\frac {L}{c}}}=4k_{B}Td\nu$ $R$ ${\frac {dW(\nu )}{d\nu }}={\frac {\langle {V^{2}}\rangle (\nu )}{R}}$ $\langle V^{2}\rangle$ $\nu$ $\langle V^{2}\rangle =4Rk_{B}T\Delta \nu$

Literatura

↑ Herbert B. Callen a Theodore A. Welton. "Nevratnost a generalizovaný šum", Phys. Rev. 83 , 34 (1951) doi : 10.1103/PhysRev.83.34
↑ Mizuno D. a kol . "Nonequilibrium Mechanics of Active Cytoskeletal Networks", Science 315 , 370 (2007) doi : 10.1126/science.1134404
↑ Landau L. D. , Lifshits E. M. Statistická fyzika. Část 1. - Vydání 5. — M .: Fizmatlit , 2001. — 616 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek V). — ISBN 5-9221-0054-8 .
↑ Nozdrev V.F., Senkevich A.A. Kurz statistické fyziky. - M., Vyšší škola, 1969. - c. 189