Objemový tvar

Objemová forma je vícerozměrná diferenciální forma na hladké manifoldu (tj. -forma na -dimenzionální manifoldu), která v žádném bodě nezmizí. $n$ $n$

Objemový tvar nám umožňuje definovat integrál funkce přes varietu. Jinými slovy, tvar objemu definuje míru , přes kterou lze integrovat funkce.

Vlastnosti

Hladký rozdělovač připouští objemový tvar tehdy a pouze tehdy, je-li orientovatelný.
Na manifoldu s tvarem objemu lze divergenci vektorového pole definovat pomocí následujících identit: $\omega$ $X$ $(\operatorname {div} X)\cdot \omega ={\mathcal {L}}_{X}\omega =d(X\;\lrcorner \;\omega )$

kde označuje Lieovu derivaci s ohledem na , je vnější diferenciál , a je substituční operace v .

{\mathcal {L}}_{X}

X

d

X\;\lrcorner \;\omega

X

\omega

Příklady

Na libovolné Lieově grupě se přirozený výběr objemové formy získá z formy v jednotě posuny doprava (nebo doleva). Takové formy se nazývají pravo- a levo-invariantní. V důsledku toho je každá Lieova grupa orientovatelná. Odpovídající míra se nazývá Haarova míra .

Symplektická rozmanitost dimenzí má přirozený objemový tvar . $(M,\omega )$ $2{\cdot }n$ $\omega ^{{\wedge n}}$

Jakákoli orientovaná pseudoriemannovská (včetně Riemannovy ) varieta má přirozený objemový tvar, který lze v místních souřadnicích vyjádřit jako $\omega ={\sqrt {|g|}}\cdot dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}$

kde je absolutní hodnota determinantu reprezentační matice metrického tenzoru .

|g|

Literatura