Gaussův vzorec

Gaussův vzorec ( Gaussův vztah , Gaussova rovnice ) je výraz pro Gaussovo zakřivení povrchu v trojrozměrném Riemannově prostoru v podmínkách hlavních zakřivení a průřezového zakřivení okolního prostoru. Konkrétně, je-li okolní prostor euklidovský, pak se Gaussova křivost povrchu rovná součinu hlavních křivostí v tomto bodě.

Formulace

Dovolit být dvourozměrný povrch v trojrozměrném Riemannově prostoru . Pak $S$ $M$

K_{S}(x)=K_{M}(\sigma _{S}(x))+\kappa _{1}(x)\kappa _{2}(x),

kde

$K_{S}$ je Gaussovo zakřivení povrchu v bodě , $S$ $x\in S$
$K_{M}(\sigma _{S}(x))$ je průřezové zakřivení prostoru ve směru tečném k povrchu v bodě , $M$ $\sigma _{S} (x)$ $S$ $X$
$\kappa _{1}(x)$ , jsou hlavní zakřivení povrchu v bodě $\kappa _{2}(x)$ $S$ $X.$

Zobecnění do vyšších dimenzí

Vzorec umožňuje zobecnění libovolné dimenze a kodimenze vnořené podvariety . V tomto případě je tenzor křivosti podvariety vyjádřen jako omezení prostorového tenzoru křivosti na podprostor tečna k a druhá kvadratická forma podvariety na tečném prostoru s hodnotami v normálním prostoru k : $S\podmnožina M$ $R_{S}$ $S$ $R_{M}$ $M$ $S$ $q_{S}$ $S$ $TS$ $S$

\langle R_{S}(X,Y)Z,W\rangle =\langle R_{M}(X,Y)Z,W\rangle +\langle q_{S}(Y,W),q_{S} (X,Z)\rangle -\langle q_{S}(X,W),q_{S}(Y,Z)\rangle .

[jeden]

Je třeba mít na paměti, že různí autoři definují tenzor křivosti s různým znaménkem a pořadím argumentů.

Viz také

Gauss-Bonnetův vzorec

Poznámky

↑ Postnikov M. M. Rimanova geometry M.: Factorial, 1998, s. 337.

Literatura

1. Postnikov M. M. Riemann geometry Moskva: Factorial, 1998, s. 337.
2. Kobayashi Sh ., Nomizu K. Základy diferenciální geometrie, M.: Nauka, 1981, svazek 2, s. 30.