Základní matice

Základní maticí soustavy lineárních homogenních diferenciálních rovnic je matice, jejíž sloupce tvoří základní soustavu řešení této soustavy [1] .

Základní matice, normalizovaná v bodě , se od množiny všech základních matic daného systému odlišuje podmínkou , kde je matice identity , a nazývá se matrixant . $t_0$ $\F(t)$ $F(t_{0})=E$ $E$

Determinant fundamentální matice se nazývá její Wronskián a označuje se . Důležitou vlastností Wronskiana základní matice je, že v žádném bodě nezmizí. $F(t)$ $W_{F}(t)$

Kritérium fundamentality

Spolu s lineárním homogenním systémem diferenciálních rovnic

{\dot {x}}=A(t)x,\qquad \ \ \ (1)

zvažte odpovídající maticovou rovnici

{\dot {X}}=A(t)X,\qquad (2)

kde je neznámá čtvercová matice. $X=X(t)$

Teorém. Daná maticová funkce je základní maticí lineárního systému diferenciálních rovnic (1) právě tehdy, je-li řešením maticové rovnice (2) a má v nějakém (libovolném) bodě nenulový determinant. $X=F(t)$

Důkaz. Všimněte si, že maticová funkce bude řešením maticové rovnice (2) právě tehdy, když kterýkoli z jejích sloupců je řešením lineárního homogenního systému (1). Ve skutečnosti má rovnost sloupců s čísly v levé a pravé části maticové rovnice (2) tvar , který se shoduje s lineárním homogenním systémem (1). Nyní formulované kritérium vyplývá z definic a vlastnosti Wronskiana uvedených výše , protože lineární nezávislost sloupců matice je ekvivalentní rozdílu determinantu této matice od nuly. $X=F(t)$ $\varphi_k$ $k$ $\varphi '_{k}(t)=A(t)\varphi _{k}(t)$

Poznámky

↑ Encyklopedie matematiky , Ed. collegium: I. M. Vinogradov (vedoucí redaktora) [a další] M., "Sovětská encyklopedie", 1977-1985.

Literatura

Arnold V. I. Obyčejné diferenciální rovnice. — M.: Nauka, 1966.
Petrovský IG Přednášky z teorie obyčejných diferenciálních rovnic. — M.: Nauka, 1970.
Pontryagin L. S. Obyčejné diferenciální rovnice. — M.: Nauka, 1974.