Základní třída

Základní třídou je třída homologie orientovaného různokladu , která odpovídá „celé různotě“. Intuitivně lze základní třídu považovat za součet zjednodušení maximální dimenze vhodné triangulace manifoldu.

Základní třída odrůdy je obvykle označována . $M$ $[M]$

Definice

Uzavřený orientovatelný rozdělovač

Je-li dimenzní varieta připojená , orientovatelná a uzavřená , pak -tá skupina homologie je nekonečně cyklická :. V tomto případě je orientace manifoldu určena volbou generujícího prvku grupy nebo izomorfismu . Rodičovský prvek se nazývá základní třída . $M$ $n$ $n$ $H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} \to H_{n}(M,\mathbb {Z} )$

Je-li orientovatelná rozdělovací soustava odpojena, lze jako základní třídu formálně přiřadit součet základních tříd všech jejích spojených komponent . Porovnání je formální, protože tento součet není pro skupinu generujícím prvkem . ${\displaystyle M=\bigcup \limits _{i}M_{i))$ $\sum \limits _{i}[M_{i}]$ $M_{i}$ $H_{n}(M,\mathbb {Z} )=\bigoplus \limits _{i}H_{n}(M_{i},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} \oplus \ tečky \oplus \mathbb {Z}$

Neorientovatelné potrubí

U neorientovatelného rozdělovače , pokud je skupina připojena a uzavřena, pak . Tvořící prvek grupy se nazývá základní třída neorientovatelné variety . $H_{n}(M;\mathbb {Z} )=0$ $M$ ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2))$ $H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})$ $M$

${\mathbb {Z}}_{2}$ Třída -fundamental manifoldu se používá v definici Stiefel-Whitneyho čísel .

Rozdělovač s ohraničením

Jestliže je kompaktní orientovatelná varieta s hranicí , pak -tá skupina relativní homologie je nekonečně cyklická : . Generující prvek grupy se nazývá základní třída variety s hranicí. $M$ $\částečné M$ $n$ $H_{n}(M,\částečné M)\cong \mathbb {Z}$ $H_{n}(M,\částečné M)$

Poincarého dualita

Hlavním výsledkem homologické teorie variet je Poincarého dualita mezi homologickými a cohomologickými skupinami variet. Odpovídající Poincareho izomorfismus

D:H^{k}(M;\mathbb {Z} )\to H_{nk}(M;\mathbb {Z} )

(pro orientaci)

D:H^{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{nk}(M;\mathbb {Z} _{2})

(pro neorientovatelné)

manifold je definován odpovídající základní třídou manifoldu:

D(\alpha )=[M]\mračit se \alpha

kde označuje násobení tříd homologie a kohomologie. $\mračit$ $\mračit$

Stupeň zobrazení

Nechť , jsou připojeny uzavřené orientované rozdělovače stejné dimenze. Pokud je souvislá mapa , pak $M$ $N$ $f:M\to N$

f_{\ast }[M]=k[N]

kde je indukovaný homomorfismus (kruhů skupiny) a je stupeň zobrazení . ${\displaystyle f_{\ast ))$ $F$ $k=\deg(f)$ $F$

Literatura

V. Fomenko, D.B. Fuchs . Kurz homotopické topologie - M: Nauka, 1989.
A. Dold Přednášky o algebraické topologii - M: Mir, 1976.