Kelvinovy funkce

Kelvinovy funkce jsou skupinou Besselových funkcí . Každá dvojice z nich představuje řešení diferenciální rovnice :

x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+x{\frac {df}{dx}}-(ix^{2}+\nu ^ {2})f=0

Představil William Thomson (Lord Kelvin), který je zkoumal v aplikacích.

Kelvinovy funkce prvního druhu

Jsou definovány takto:

\operatorname {ber} _{\nu }(x)=\operatorname {Re} \left(e^{\frac {i\nu \pi }{2}}\cdot I_{\nu }(x \cdot e^{\frac {i\pi }{4)))\right)

\operatorname {bei} _{\nu }(x)=\operatorname {Im} \left(e^{\frac {i\nu \pi }{2}}\cdot I_{\nu }(x \cdot e^{\frac {i\pi }{4)))\right)

kde je funkce Infeld $I_{\nu }(x)$

Pro celá čísla n dochází k rozšíření řady:

\mathrm {bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\ sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)} }\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}

\mathrm {ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\ cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)} }\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}

Kelvinovy funkce druhého druhu

Jsou definovány takto: $\operatorname {ker} _{\nu }(x)=\operatorname {Re} \left(e^{-{\frac {i\nu \pi }{2))}\cdot K_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4)))\right)$

\operatorname {kei} _{\nu }(x)=\operatorname {Im} \left(e^{-{\frac {i\nu \pi }{2))}\cdot K_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4)))\right)

kde je funkce Macdonald . $K_{\nu }(x)$

Pro celá čísla n dochází k rozšíření řady:

\mathrm {kei} _{n}(x)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\součet _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{ \frac {(nk-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}-\ln \left({\frac {x }{2}}\right)\mathrm {Bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Ber} _{n}(x)+{\frac {1 }{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4 ))+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k )!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}

{\begin{aligned}\mathrm {ker} _{n}(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^ {-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right) \pi \right]{\frac {(nk-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}-\ln \left ({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Bei} _{n}(x) \\&{}\quad +{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\součet _{k\geq 0}\cos \ vlevo[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n +k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\end{aligned}}

Kelvinovy funkce třetího druhu

Jsou definovány takto:

\operatorname {her} _{\nu }(x)=\operatorname {Re} \left(H_{\nu }^{(1)}(x\cdot e^{\frac {3i\pi } {4)))\vpravo)

\operatorname {hei} _{\nu }(x)=\operatorname {Im} \left(H_{\nu }^{(1)}(x\cdot e^{\frac {3i\pi } {4)))\vpravo)

kde je Hankelova funkce prvního druhu . $H_{\nu }^{(1)}(x)$

Odkazy

Weisstein, Eric W. Kelvin Functions (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
Kuznetsov D. S. - "Speciální funkce" - 1962

Kelvinovy ​​funkce

Kelvinovy ​​funkce prvního druhu

Kelvinovy ​​funkce druhého druhu

Kelvinovy ​​funkce třetího druhu

Odkazy

Kelvinovy funkce

Kelvinovy funkce prvního druhu

Kelvinovy funkce druhého druhu

Kelvinovy funkce třetího druhu