Funkce nejistoty

Funkce nejistoty (FN) je dvourozměrná funkce představující závislost odezvy přizpůsobeného filtru na signál posunutý v čase o a frekvenčně o vzhledem k signálu přizpůsobenému tomuto filtru. Jinými slovy, charakterizuje míru rozdílu v odezvách filtru na signály s různým časovým zpožděním (rozsah) a frekvencí (radiální rychlost). Používá se k analýze rozlišení signálů z hlediska dosahu a radiální rychlosti v radaru. ${\displaystyle {\chi \left(\tau ,f\right)))$ ${\displaystyle {\tau ))$ ${\displaystyle {\Delta f))$ ${\displaystyle {s\left(t\right)))$

Funkce neurčitosti je korelační integrál

\chi (\tau ,\Delta f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )e^{i2\pi \Delta ft}\,dt

(jeden)

kde * je operace komplexní konjugace; je pomyslná jednotka. ${\displaystyle {i))$

Odvození výrazu

Hlavní operací při přizpůsobené filtraci je výpočet integrálu vzájemné korelace mezi přijatým a očekávaným (optimálním pro filtr) signálem . $f\left(t\right)$ $s\left(t\right)$

y\left(t\right)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{f\left(\tau \right)s^{*}\left(\tau -t\ vpravo)d\tau}

Předpokládejme, že přijímaný signál má určitý Dopplerův posun určený cílovou rychlostí a je dán vztahem . Potom je odpověď přizpůsobeného filtru definována jako $\Delta f$ ${\displaystyle f\left(t\right)=s\left(t\right)e^{i2\pi \Delta ft))$

y\left(t\right)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{s\left(\tau \right)e^{i2\pi \Delta f\tau }s ^{*}\left(\tau -t\right)d\tau }

Po změně proměnných můžeme konečně psát $t=\tau$ $\tau=t$

\chi (\tau ,\Delta f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )e^{i2\pi \Delta ft}\,dt

Je třeba poznamenat, že existují i jiné formy zápisu výrazu pro funkci neurčitosti, kterými jsou absolutní hodnota výrazu (1) nebo jeho druhá mocnina.

Vlastnosti funkce neurčitosti

Maximální hodnota FN se nachází v místě původu a je kvantitativně rovna $\left(\tau =0,\Delta f=0\right)$ $E$

\left|\chi \left(\tau ,\Delta f\right)\right|\leq \left|\chi \left(0,0\right)\right|=E

kde je energie signálu. $E=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{({\left|s\left(t\right)\right|}^{2}}dt}$

Modulo FN je symetrický vzhledem k původu

\left|\chi \left(\tau ,\Delta f\right)\right|=\left|\chi \left(-\tau ,-\Delta f\right)\right|

Objem čtverce modulu FN je konstantní a rovný . ${{E}^{2))$

\int \limits _{-\infty }^{\infty } \int \limits _{-\infty }^{\infty }{{{\left|\chi \left(\tau ,\Delta f \right)\right|}^{2}}d\tau df=}{{E}^{2}}

Jestliže je Fourierova transformace signálu , pak podle Parsevalovy věty lze funkci nejistoty reprezentovat jako $Svatý)$ $Svatý)$

\chi (\tau ,\Delta f)=\int _{-\infty }^{\infty }S^{*}(f)S(f-\Delta f)e^{-i2\pi f\tau}\,df

Funkce nejistoty některých signálů

Ideální FN

Ideální FN je delta funkce

\chi (\tau ,\Delta f)=\delta (\tau )\delta (\Delta f)

mající nekonečnou hodnotu v bodě a nulu ve všech ostatních případech. Ideální FN poskytuje nejlepší rozlišení pro dva nekonečně blízké cíle. Je to matematická idealizace. Příkladem signálu s ideální FN by mohl být signál s nekonečnou šířkou spektra. $(0,0)$

Obdélníkový pulz

Modul FN normalizovaná doba trvání obdélníkového impulsu , daná jako $T$

s(t)={\frac {1}{\sqrt {T}}}\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}\right)

kde je obdélníková funkce , na základě výrazu (1) má tvar $\mathrm {rect()}$

\left|\chi (\tau ,\Delta f)\right|=\left|\left(1-{\frac {\left|\tau \right|}{T))\right){\ frac {\sin \left(\pi T\Delta f\left(1-\left|\tau \right|/T\right)\right)}{\pi T\Delta f\left(1-\left| \tau \right|/T\right)}}\right|

Průřez FN podél časové osy at je určen výrazem $\Delta f=0$

\left|\chi (\tau ,0)\right|={\begin{cases}1-{\frac {\left|\tau \right|}{T)),&|\tau |\ leq T\\0,&{\mbox{jinak}}.\\\end{cases}}

Průřez FN podél frekvenční osy at je určen výrazem $\tau=0$

\left|\chi (0,\Delta f)\right|=\left|{\frac {\sin(\pi T\Delta f)}{\pi T\Delta f))\right|

cvrlikání impuls

Nechť je impuls cvrlikání dán výrazem

s(t)={\frac {1}{\sqrt {T}}}\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}\right)e^{i\pi \ mu t^{2}}

kde je sklon cvrlikání; — frekvenční odchylka. Potom je modul FN definován jako $\mu =\pm {B}/{T}$ $B$

\left|\chi (\tau ,\Delta f)\right|=\left|\left(1-{\frac {\left|\tau \right|}{T))\right){\ frac {\sin \left(\pi T(\Delta f\pm B({\tau }/{T}))\left(1-\left|\tau \right|/T\right)\right)} {\pi T(\Delta f\pm B({\tau }/{T}))\left(1-\left|\tau \right|/T\right)))\right|

v . $\left|\tau \right|\leq T$

Literatura

Dudnik, P. I. Letecké radarové komplexy a systémy: učebnice pro studenty a kadety vysokých škol letectva / P. I. Dudnik, G. S. Kondratenkov, B. G. Tatarsky, A. R. Ilčuk, A. A. Gerasimov. Ed. P. I. Dudník. — M.: Ed. VVIA je. prof. NE. Žukovskij, 2006. - 1112 s. — ISBN 5-903111-15-7 .
Lezin, Yu. S. Úvod do teorie a technologie radiotechnických systémů: Proc. příspěvek na vysoké školy. - M .: Rozhlas a komunikace, 1986. - 280 s.
Mahafza, BR Analýza a návrh radarových systémů pomocí MATLABu / Bassem R. Mahafza. - CHAPMAN & HALL / CRC, 2000. - 532 s. — ISBN 1-58488-182-8 .