Existují dvě definice chirálního mnohostěnu . Podle jedné definice je to mnohostěn v nejpravdivějším smyslu pro chiralitu (neboli "zrcadlovou symetrii"), to znamená, že mnohostěn nemá zrcadlovou symetrii . Podle této definice by polytop, který postrádal jakoukoli symetrii, byl obecně příkladem chirálního polytopu.
Podle jiné definice je chirální polytop symetrický polytop, ale ne zrcadlově symetrický v podmínkách působení skupiny symetrie polytopu na jeho vlajkách . Podle této definice ani vysoce symetrický a zrcadlově symetrický mnohostěn, jako je snub cube , nebude chirální. Navíc velká část studia symetrických, ale ne chirálních mnohostěnů byla odsunuta do oblasti abstraktních mnohostěnů kvůli nedostatku geometrických příkladů.
| Snub kostka je vertex-tranzitivní, ale není zrcadlově symetrická. | |
Mnoho mnohostěnů postrádá zrcadlovou symetrii a jsou v tomto smyslu chirální. Nejjednodušším příkladem je scalenový trojúhelník [1] .
Mnohostěn může mít vysoký stupeň symetrie, ale ne zrcadlovou symetrii. Příkladem je snub cube , která je vertex-tranzitivní a chirální kvůli nedostatku zrcadlové symetrie [2] .
Formálnější definice chirálního polytopu je polytop, který má dvě orbity vlajky pod akcí skupiny symetrie pro sousední vlajky na různých drahách. Z této definice vyplývá, že polytop musí být vertex-transitive , edge-transitive , a face- transitive , protože každý vrchol, hrana nebo plocha musí být reprezentovány příznaky na obou orbitech. Mnohostěn však nemůže být zrcadlově symetrický, protože jakákoli zrcadlová symetrie mnohostěnu by vedla k výměně sousedních vlajek [3] .
Pro tuto definici může být skupina symetrie polytopu definována dvěma různými způsoby - může odkazovat na symetrie polytopu jako geometrický objekt (v takovém případě je polytop považován za geometricky chirální ) nebo se může odkazovat na symetrie polytopu. polytop jako kombinatorická struktura ( abstraktní polytop ). Chiralita dává smysl pro oba typy symetrie, ale obě definice stejně neklasifikují mnohostěny jako chirální nebo nechirální [4] .
Ve třech rozměrech nemůže mít geometricky chirální mnohostěn konečný počet ohraničených ploch. Například snub kostka je vertex-tranzitivní, ale její příznaky mají více než dva orbity a není ani hraně tranzitivní, ani plošně tranzitivní, takže není dostatečně tranzitivní, aby formálně definovala chiralitu. Kvazipravidelné mnohostěny a jejich duály, jako je kuboktaedr a kosočtverečný dvanáctistěn , poskytují další zajímavý typ „téměř nepřítomnosti“ – mají dvě vlajkové dráhy, ale jsou zrcadlově symetrické a ne každý pár sousedních vlajek patří k jinému oběžné dráze. Navzdory absenci konečných chirálních 3D polyedrů však existují nekonečné 3D chirální skew polytopy typů {4,6}, {6,4} a {6,6} [4] .