Centrální rozdělovač

Středová varieta singulárního bodu autonomní obyčejné diferenciální rovnice je invariantní varieta ve fázovém prostoru procházející singulárním bodem a tečnou k invariantnímu centrálnímu podprostoru linearizace diferenciální rovnice. [1] Důležitý předmět studia v teorii diferenciálních rovnic a dynamických systémů . V jistém smyslu je celá netriviální dynamika systému v blízkosti singulárního bodu soustředěna na centrální varietu. [2]

Formální definice

Uvažujme autonomní diferenciální rovnici se singulárním bodem 0:

${\dot {x}}=Ax+f(x),\quad (*)$

kde , je lineární operátor, je hladká funkce třídy , a a . Jinými slovy, je linearizace vektorového pole v singulárním bodě 0. $x\in \mathbb {R} ^{n}$ $A$ $f(x)$ $C^{k+1}$ $f(0)=0$ $Df(0)=0$ $Sekera$

podprostor	titul	spektrum A
$T^{s}$	stabilní _ _	$\operatorname {Re} \lambda <0$
$T^{u}$	nestabilní _ _	$\operatorname {Re} \lambda >0$
$T^{c}$	centrální ( střed )	$\operatorname {Re} \lambda =0$

Podle klasických výsledků lineární algebry se lineární prostor rozkládá na přímý součet tří invariantních podprostorů , kde jsou určeny znaménkem reálné části odpovídajících vlastních hodnot (viz tabulka) $A$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}\oplus T^{c))$ ${\displaystyle T^{s},T^{u},T^{c))$

Tyto podprostory jsou invariantní variety linearizovaného systému, jehož řešením je maticový exponent . Ukazuje se, že dynamika systému v okolí singulárního bodu se svými vlastnostmi blíží dynamice linearizovaného systému. Přesněji řečeno platí následující tvrzení: [3] [4] ${\dot {x}}=Axe$ ${\displaystyle x(t)=e^{At}x_{0))$

Věta (o středové rozdělovači).

Předpokládejme, že pravá strana diferenciální rovnice (*) patří do třídy , . Potom, v okolí singulárního bodu, existují variety a třídy a , v tomto pořadí, invariantní pod fázovým tokem diferenciální rovnice. Dotýkají se v počátku podprostorů a nazývají se stabilní , nestabilní a centrální manifoldy. $C^k$ $2\leq k<\infty$ $W^{s},W^{u}$ $W^{c}$ $C^{k},C^{k}$ $C^{k-1}$ $T^{s},T^{u}$ $T^{c}$

V případě, že pravá strana rovnice (*) patří do třídy , manifoldy a také patří do třídy , ale středová manifolda , obecně řečeno, může být pouze konečně hladká. Navíc, pro libovolné libovolně velké číslo, varieta patří do třídy v nějakém sousedství kontrahujícím se k singulárnímu bodu v , takže průsečík všech sousedství sestává pouze ze samotného singulárního bodu [5] . ${\displaystyle C^{\infty ))$ ${\displaystyle W^{s))$ ${\displaystyle W^{u))$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $W^{c}$ $k$ $W^{c}$ ${\displaystyle C^{k))$ $Spojené království$ $k\to\infty$ $Spojené království$

Stabilní a nestabilní invariantní manifoldy se také nazývají hyperbolické , jsou jednoznačně definovány; zároveň místní centrální rozdělovač není jednoznačně definován. Je zřejmé, že pokud je systém (*) lineární, pak se invariantní variety shodují s odpovídajícími invariančními podprostory operátoru . $A$

Příklad: sedlový bod

Nedegenerované singulární body v rovině nemají středové potrubí. Zvažte nejjednodušší příklad degenerovaného singulárního bodu: sedlový uzel tvaru

${\begin{cases}{\tečka {x}}=x^{2}\\{\tečka {y}}=y\end{cases}}$

Jeho nestabilní potrubí se shoduje s osou Oy a skládá se ze dvou vertikálních separatrik a samotného singulárního bodu. Zbývající fázové křivky jsou dány rovnicí $\{x=0,y>0\}$ ${\displaystyle \{x=0,y<0\))$

$y(x)=y_{0}\exp \left({\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {1}{x}}\right)$ ,

kde . $y(x_{0})=y_{0}$

Je snadné vidět, že v levé polorovině se jediná fázová křivka směřující k singulárnímu bodu shoduje s paprskem osy Ox . Přitom v pravé polorovině je nekonečně mnoho ( kontinua ) fázových křivek inklinujících k nule - to jsou grafy funkce y(x) pro libovolné a libovolné . Vzhledem k tomu, že funkce y(x) je plochá v nule, můžeme z paprsku , bodu (0, 0) a libovolné trajektorie v pravé polorovině poskládat hladkou invariantní varietu. Kterákoli z nich bude lokálně středovou varietou bodu (0, 0). [6] ${\displaystyle \{x<0,y=0\))$ $x_{0}>0$ $y_0$ ${\displaystyle \{x<0,y=0\))$

Globální centrální rozdělovače

Pokud rovnici (*) neuvažujeme v nějakém okolí singulárního bodu 0, ale v celém fázovém prostoru , můžeme definovat globální středovou varietu . Neformálně řečeno, může být definován jako invariantní varieta, jejíž trajektorie nemají tendenci k nekonečnu (v dopředném nebo zpětném čase) podél hyperbolických směrů. Konkrétně globální středová varieta obsahuje všechny ohraničené trajektorie (a tedy všechny limitní cykly , singulární body , spojky separatrix atd.) [7] $\mathbb {R} ^{n}$

Uvažujme projekce prostoru na odpovídající invariantní podprostory operátoru . Definujeme také podprostor a projekci do něj. Středová varieta je množina bodů ve fázovém prostoru tak, že projekce trajektorií začínajících od , do hyperbolického podprostoru je omezená. Jinými slovy ${\displaystyle \pi _{s},\ \pi _{u},\pi _{c))$ $\mathbb {R} ^{n}$ $A$ $T^{h}=T^{u}\oplus T^{s}$ $\pi _{h}$ $W^{c}$ $X$ $X$

$W^{c}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{t\in \mathbb {R} }|\pi _{h}({\ vlnovka {x}}(t,x))|<\infty \right\}$ ,

kde je řešení rovnice (*) takové, že . [osm] ${\tilde {x}} (t,x)$ ${\tilde {x}}(0,x)=x$

Pro existenci globální středové variety musí být na funkci kladeny další podmínky: ohraničenost a Lipschitzova vlastnost s dostatečně malou Lipschitzovou konstantou. V tomto případě existuje globální středová varieta, která je sama o sobě Lipschitzovou podvarietou a je jednoznačně definována. [8] Pokud požadujeme hladkost řádu a malost derivace, pak bude mít varieta globálního středu hladkost řádu a bude se dotýkat centrálního invariančního podprostoru v singulárním bodě 0. Z toho plyne, že pokud uvážíme omezení globálního středu manifold do malého okolí singulárního bodu, pak to bude místní centrum manifold je jedním ze způsobů, jak prokázat jeho existenci. I když systém (*) nesplňuje podmínky pro existenci globálního středového manifoldu, lze jej upravit mimo nějaké okolí nuly (vynásobením vhodnou funkcí hladkého omezení typu „ cap “), takže podmínky začnou být splněny, a zvážit omezení, že modifikované globální centrální rozvodné systémy. Ukazuje se, že lze formulovat i obrácené tvrzení: lze globalizovat lokálně daný systém a rozšířit lokální centrální varietu na globální. [9] Přesněji je toto tvrzení formulováno takto: [10] $f(x)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f(x)$ $k$ $k$ $T^{c}$

Teorém. Nechť , , , a je místní středová různina (*). Existuje tak malé okolí nuly a funkce ohraničená celým prostorem se shoduje s tím , že rovnice (*) pro funkci má hladkou varietu globálního středu shodující se v oblasti s

f\in C^{k}(\mathbb {R} ^{n})

k\geq 1

f(0)=0

Df(0)=0

W^{c}

\Omega

{\tilde {f}}(x)

f(x)

\Omega

\tilde f

\Omega

W^{c}

Je třeba poznamenat, že přechod od lokálních ke globálním problémům a naopak se často používá při dokazování tvrzení týkajících se středových variet.

Princip redukce

Jak bylo zmíněno výše, netriviální dynamika v blízkosti singulárního bodu je „koncentrována“ na centrální rozdělovači. Pokud je singulární bod hyperbolický (to znamená, že linearizace neobsahuje vlastní čísla s nulovou reálnou částí), pak nemá středovou varietu. V tomto případě je vektorové pole podle Grobman -Hartmanovy věty orbitálně-topologicky ekvivalentní jeho linearizaci, to znamená, že z topologického hlediska je dynamika nelineárního systému zcela určena linearizací. V případě nehyperbolického singulárního bodu je topologie fázového toku určena lineární částí a omezením toku na centrální rozdělovač. Toto tvrzení, nazývané Shoshitaishviliho redukční princip , je formulováno následovně: [11]

Věta (A. N. Shoshitaishvili, 1975 [12] ).

Předpokládejme, že pravá strana vektorového pole (*) patří do třídy . Potom, v sousedství nehyperbolického singulárního bodu, je orbitálně topologicky ekvivalentní součinu standardního sedla a omezení pole na centrální varietu: $C^{2}$

${\begin{cases}{\tečka {x}}=w(x)\\{\tečka {y}}=-y\\{\tečka {z}}=z,\end{cases} }\quad x\in W^{c},\ y\in T^{s},\ z\in T^{u}$

Poznámky

↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Žrádlo. Normální formy a bifurkace vektorových polí v rovině. - M. : MTSNMO, 2005. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 . , c. 13
↑ Iljašenko Yu.S., Veigu L. Nelokální bifurkace. - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 s. — ISBN 5-900916-34-0 . , kapitola 1, odstavec 2.3
↑ Iljašenko Yu.S., Veigu L. Nelokální bifurkace. - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 s. — ISBN 5-900916-34-0 . , kapitola 1, bod 2.2
↑ Nelineární dynamika a chaos, 2011 , str. 133.
↑ Gukenheimer J., Holmes F. Nelineární oscilace, dynamické systémy a bifurkace vektorových polí, - Moskva-Iževsk: IKI, 2002. - Kapitola 3, odst. 3.2.
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Žrádlo. Normální formy a bifurkace vektorových polí v rovině. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 37. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Žrádlo. Normální formy a bifurkace vektorových polí v rovině. - M. : MTsNMO, 2005. - S. 14. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ 1 2 D. Wang, C. Lee, S.-N. Žrádlo. Normální formy a bifurkace vektorových polí v rovině. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 16. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Žrádlo. Normální formy a bifurkace vektorových polí v rovině. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 36. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Žrádlo. Normální formy a bifurkace vektorových polí v rovině. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 38. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ Iljašenko Yu.S., Veigu L. Nelokální bifurkace. - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 s. — ISBN 5-900916-34-0 . viz také D. Wang, C. Lee, Sh.-N. Žrádlo. Normální formy a bifurkace vektorových polí v rovině. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 406. - 416 s. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ Shoshitaishvili A.N. Bifurkace topologického typu vektorového pole v blízkosti singulárního bodu. // Tr. semináře k nim. I. G. Petrovský. - 1975. - Vydání 1. . - S. 279-309 .

Literatura

Malinetsky G. G. , Potapov A. B. Nelineární dynamika a chaos: základní pojmy. - M. : Librokom, 2011. - 240 s. - ISBN 978-5-397-01583-7 .