Homotopie řetězce

Řetězová homotopie - variace konceptu " homotopie " v algebraické topologii a homologické algebře

Definice

Dovolit být řetězový komplex modulů (to je rodina modulů a modulárních homomorfismů ), a být řetězová zobrazení komplexu do komplexu (tj. takové homomorfismy , které ). $C$ $C_{n}$ ${\displaystyle d_{n}\colon C_{n}\to C_{n-1))$ $F$ $G$ $C$ $C'$ $f_n$ ${\displaystyle d_{n}f_{n}=f_{n-1}d_{n))$

Řetězová homotopie mezi zobrazeními a je rodinou homomorfismů takových, že $F$ $G$ $s_{n}\colon C_{n}\to C'_{n+1}$

s_{n-1}d_{n}+d'_{n+1}s_{n}=f_{n}-g_{n}.

Vlastnosti

Pokud jsou zobrazení a jsou řetězcová homotopická, pak jsou indukovaná zobrazení na homologii stejná (kde ). Vskutku, nechť je cyklus, tedy prvek z . Pak . Protože a jsou řetězové homotopické, pak $F$ $G$ $H_{n}(C)\to H_{n}(C')$ $H_{n}(C)=\mathrm {Ker} \,d_{n}/\mathrm {Im} \,d_{n+1}$ $c\in C_{n}$ $\mathrm {Ker} \,d_{n}$ $d_{n}(c)=0$ $F$ $G$ $f_{n}(c)-g_{n}(c)=s_{n-1}d_{n}(c)+d'_{n+1}s_{n}(c)=d '_{n+1}s_{n}(c)$ ,

to znamená, že se liší hranicí (prvkem ).

\mathrm {Im} \,d'_{n+1}

Pro většinu homologických teorií je dokázáno, že homotopická spojitá zobrazení topologických prostorů indukují řetězová homotopická zobrazení komplexů a tím, co bylo prokázáno, identická zobrazení homologních grup ( axiom homotopické invariance je splněn ). $f,g\dvojtečka X\to Y$ $C(X)\to C(Y)$ $H(X)\to H(Y)$

Literatura

Wick J. W. Homology Theory. Úvod do algebraické topologie. — M. : MTsNMO, 2005
Gel'fand SI, Manin Yu. I. Metody homologické algebry. Úvod do kohomologie a odvozených kategorií. Svazek 1. - M .: Nauka, 1989
Dold A. Přednášky o algebraické topologii. — M. : Mir, 1976
McLane S. Homologie. — M .: Mir, 1966
Spanier E. Algebraická topologie. — M .: Mir, 1971