Částečná stopa

V lineární algebře parciální stopa zobecňuje pojem stopy matice . Stopa lineárního operátora je skalární , zatímco částečná stopa je sama lineárním operátorem . Částečná stopa je aplikována v kvantové informatice a teorii dekoherence .

Definice

Pro libovolný prostor označte prostor lineárních operátorů na něm jako . Dovolit , být konečný -rozměrné vektorové prostory přes pole s rozměry a , příslušně. Nechť základy ve V a W jsou , a , v tomto pořadí . $A$ $A$ $L(A)$ $PROTI$ $W$ $m$ $n$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m))$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n))$

Částečná stopa pro prostor , toto zobrazení je dáno vztahem $\operatorname {Tr} _{W}$ $W$ $\{a_{k\ell ,ij}\}=A\in \operatorname {L} (V\otimes W)\mapsto \{b_{k,i}\}=\operatorname {Tr} _{ W}(A)\in \operatorname {L} (V)$ $b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}.$

Takto definovaný lineární operátor nezávisí na volbě základu a . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m))$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n))$

Částečná stopa jako kvantová operace

Uvažujme stavy dvou částic. Čisté stavové vektory patří do Hilbertova prostoru a matice hustoty, resp . Uvažujme matici hustoty . $H_{A}\otimes H_{B}$ $H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}$ $\rho _{AB}\in H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}$

${\displaystyle \{{\left|{i}\right\rangle }_{A}\))$ a jsou základy prostorů a, resp. $\{{\left|{i}\right\rangle }_{B}\}$ $H_{A}$ $H_{B}$

Poté je subsystém popsán maticí hustoty $A$ $\rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})=\sum _{{\left|{i}\right\rangle }_{B}}{ {\left\langle {i}\right|}_{B}\rho _{AB}{\left|{i}\right\rangle }_{B))$

Literatura

D. A. Kronberg, Yu. I. Ozhigov, A. Yu. Chernyavsky (2012). „Algebraický aparát kvantové informatiky“ .