Cullenova čísla

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. ledna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

V matematice , Cullen čísla jsou přirozená čísla formy (psaný C n ). Cullenova čísla byla poprvé studována irským matematikem Jamesem Cullenem v roce 1905. Cullenova čísla jsou zvláštním druhem Prothových čísel . $n\cdot 2^{n}+1$

Vlastnosti

V roce 1976 Christopher Hooley ukázal, že hustota posloupnosti kladných celých čísel , pro které je C n prvočíslo, je o(x) pro . V tomto smyslu jsou téměř všechna Cullenova čísla složená . Důkaz Christophera Hooleyho přepracoval matematik Hirmi Suyama , aby ukázal, že platí pro jakoukoli posloupnost čísel , kde a a b jsou celá čísla, a částečně také pro Woodallova čísla . Všechna známá Cullenova prvočísla odpovídají n rovno: $n\leq x$ $x\to \infty$ $n\cdot 2^{n+a}+b$

1, 161, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 13542825, 13542825, 63548167, 638E v sekvenci A08

Existuje předpoklad, že Cullenových prvočísel je nekonečně mnoho.

V srpnu 2009 bylo největším známým Cullenovým prvočíslem . Tento megaprime s 2 010 852 číslicemi byl objeven přispěvatelem PrimeGrid v Japonsku . [jeden] $6679881\cdot 2^{6679881}+1$

Cullenova čísla C n jsou dělitelná, jestliže p je prvočíslo tvaru . To vyplývá z Fermatovy Malé věty , takže pokud p je liché prvočíslo, pak p dělí C m ( k ) pro každé (pro k > 0). Bylo také ukázáno, že prvočíslo p se dělí , když je Jacobiho symbol -1, a že p se dělí , když je Jacobiho symbol +1. $p=2n-1$ $8k-3$ $m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k$ $C_{(p+1)/2}$ $\left({\frac {2}{p}}\right)$ $C_{(3p-1)/2}$ $\left({\frac {2}{p}}\right)$

Není známo, zda existuje prvočíslo p takové, že C p je také prvočíslo.

Zobecnění

Někdy zobecněná Cullenova čísla jsou čísla ve tvaru , kde n + 2 > b . Pokud lze prvočíslo zapsat v tomto tvaru, nazývá se zobecněné Cullenovo prvočíslo . Woodallova čísla jsou někdy nazývána Cullenovými čísly druhého druhu . $n\cdot b^{n}+1$

V únoru 2012 bylo největší známé zobecněné Cullenovo prvočíslo . Má 877 069 znaků a byl otevřen americkým přispěvatelem PrimeGrid . [2] $427194\cdot 113^{427194}+1$

Odkazy

↑ The Prime Database: 6679881*2^6679881+1 , < http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=89536 > . Staženo 22. prosince 2009.
↑ The Prime Database: 427194 • 113^427194 + 1 , < http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=104121 > . Staženo 30. ledna 2012.

Další čtení

Cullen, James (1905), otázka 15897, Educ. Časy : 534 .
Guy, Richard K. (2004), Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vydání), New York: Springer Verlag , str. sekce B20, ISBN 0-387-20860-7 .
Hooley, Christopher (1976), Aplikace metod síta , New York: Cambridge University Press , str. 115–119, ISBN 0-521-20915-3 .
Keller, Wilfrid (1995), New Cullen Primes , Mathematics of Computation, svazek 64 (212): 1733–1741 , < http://www.ams.org/mcom/1995-64-212/S0025-5718-1995- 1308456-3/S0025-5718-1995-1308456-3.pdf > .

Odkazy

Chris Caldwell, The Top Twenty: Cullen premiéruje na The Prime Pages .
The Prime Glossary: Cullenovo číslo na The Prime Pages.
Weisstein, Eric W. Cullen číslo (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Cullen Prime: definice a stav (zastaralé), Cullen Prime Search je nyní hostován na PrimeGrid
Paul Leyland, zobecněná Cullenova a Woodallova čísla