Částečně objednaná sada Euler

V kombinatorice je Eulerova poseta odstupňovaná poseta , ve které má jakýkoli netriviální interval stejný počet prvků sudých a lichých pozic. Eulerova částečně uspořádaná množina, která je mřížkou , se nazývá Eulerova mřížka . Objekty jsou pojmenovány po Leonhardu Eulerovi . Eulerovy mříže jsou zobecněním plošných mřížek konvexních polytopů a mnoho moderních studií se věnuje rozšířením dobře známých výsledků kombinatoriky mnohostěnů , jako jsou různá omezení f- vektorůkonvexní jednoduché mnohostěny , to jsou obecnější případy.

Příklady

• Čelní mříž konvexního mnohostěnu , skládající se z jeho ploch, spolu s nejmenším prvkem, prázdnou plochou, a největším prvkem, samotným mnohostěnem, je Eulerova mřížka. Sudá/lichá podmínka vyplývá z Eulerova vzorce .
• Jakákoli jednoduchá sféra zobecněné homologie je Eulerova mřížka.
• Nechť L je pravidelný buněčný komplex takový, že | l | je manifold se stejnými Eulerovými charakteristikami jako hypersféra stejné dimenze (podmínka je bezvýznamná, pokud je dimenze lichá). Pak částečně uspořádaná sada buněk L s pořadím určeným zahrnutím jejich uzávěrů je Euler.
• Nechť W je skupina Coxeter s Bruhatovým řádem . Potom ( W ,≤) je Eulerův poset.

Vlastnosti

• Podmínky v definici Eulerovy parciální uspořádané množiny P lze ekvivalentně vyjádřit pomocí Möbiovy funkce :

pro všechny

• Duální Eulerův poset získaný obrácením dílčího řádu je Euler.
• Richard Stanley představil koncept torického h -vektoru řazeného posetu , který zobecňuje ''h''-vektor jednoduchého polytopu [1] . Dokázal, že Dehn-Somervilleovy rovnice

platí pro libovolné Eulerovy posety hodnosti d  + 1 [2] . Avšak pro Eulerovy posety, které jsou výsledkem pravidelných buněčných komplexů nebo konvexních mnohostěnů, torický h -vektor nedefinuje ani není určen počtem buněk nebo ploch různých rozměrů a torický h -vektor nemá žádnou přímou kombinatorickou interpretaci.

Viz také

• Abstraktní mnohostěn
• Hvězdný produkt , metoda pro kombinování posetů, která zachovává Eulerovu vlastnost posetů

Poznámky

1. ↑ Stanley, 1997 , str. 138.
2. ↑ Stanley, 1997 , str. Věta 3.14.9.

Literatura

• Richard P. Stanley. Enumerativní kombinatorika. - Cambridge University Press, 1997. - Svazek 1. - ISBN 0-521-55309-1 .