Efektivní úroková sazba

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 2. srpna 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Efektivní úroková sazba ( EIR, EIR, Effective Interest Rate ) je úroková sazba (diskontní sazba), při které se diskontovaná hodnota peněžního toku z finančního nástroje (aktiva, závazku, investičního projektu atd.) rovná nějakému odhadu aktuální hodnotu tohoto nástroje (investice). Efektivní úrokovou sazbu lze určit pro jakékoli časové období, ale obvykle se předpokládá roční efektivní úroková sazba.

EIR je složená úroková sazba, která zohledňuje časovou hodnotu peněz a umožňuje vzájemně porovnávat různé peněžní toky, nástroje, aktiva, závazky, projekty.

V různých situacích mohou být použita různá jména. U dluhopisů se používá koncept výnosu do splatnosti (YTM), u investičních projektů - vnitřní míra návratnosti (INR, IRR, Internal Rate of Return).

Metoda EIR je hlavní metodou pro oceňování finančních aktiv a závazků v IFRS (viz IFRS 9), pokud jsou vedeny v naběhlé hodnotě. Při prvotním zaúčtování je nástroj oceněn reálnou hodnotou a používá se ke stanovení EIR. Dále je hodnota nástroje stanovena jako diskontovaná hodnota peněžního toku z nástroje očekávaného po aktuálním okamžiku v tomto počátečním EIR.

Formalizovaný popis

Obecná definice

V souladu s definicí je EIR pro finanční nástroj s hodnotou S (v daném časovém okamžiku) obecně definována jako řešení s ohledem na r rovnice

$S=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{t_{i}}}{(1+r)^{t_{i}}}}$

kde je platba za nástroj v okamžiku času (čas se počítá od aktuálního okamžiku v jednotkách r). $CF_{t_{i))$ $t_{i}$

Pokud je EPS určen pro nějaké základní období, pak pro stanovení EPS pro období T, obsahující m základních období (m není nutně celé číslo) ve výše uvedené rovnici v mocninách diskontních faktorů, musí být čas také převeden na nové jednotky. , respektive namísto použití . To je ekvivalentní použití místo , proto máme složený úrok, tzn $t_{i}$ $t_{i}/m$ $1+r$ ${\displaystyle (1+R)^{1/m))$

$R=(1+r)^{m}-1$

EIR úročeného nástroje s úplným splacením původní částky během (nebo na konci) období

U nástroje nechť jsou současně splněny následující podmínky:

1) platby na finanční nástroj jsou výhradně platbami ke splacení jistiny dluhu a úroků z jeho zbývající části; 2) platby jsou prováděny po pevně stanovené době (dále jen základní období); 3) nominální úroková sazba podle smlouvy je po celou dobu trvání smlouvy neměnná (označujeme ji q pro sazbu pro základní období) a slouží k výpočtu procentní složky plateb: úrok za toto základní období je roven součin q krát zůstatek jistiny dluhu na začátku základního období; 4) po dobu trvání smlouvy je původní výše dluhu plně splacena ( nezáleží na konkrétním splátkovém kalendáři dluhu, dluh lze plně splatit na samém konci doby a v jejím průběhu).

Lze prokázat, že za těchto podmínek je efektivní úroková sazba pro základní období rovna nominální úrokové sazbě za stejné období: . EIR pro další období se přitom nerovná nominální sazbě za stejné období, ale musí být přepočítán pomocí vzorce složeného úročení. Například EPS pro m základních období se bude rovnat: , což se neshoduje s nominální sazbou pro toto období: $r=q$ ${\displaystyle R_{m}=(1+q)^{m))$ $Q=qm$

Důkaz

EPS pro základní období je definováno jako řešení vzhledem k r řešení rovnice:

S_{0}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {CF_{t}}{(1+r)^{t}}}

Současně se platby skládají z plateb na splacení jistiny dluhu a úroků z jeho zbývající části:

CF_{t}=-\Delta {S_{t}}+I_{t}=S_{t-1}-S_{t}+qS_{t-1}=(1+q)S_{t -1}-S_{t}

Potom bude rovnice pro nalezení EPS vypadat takto:

S_{0}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {(1+q)S_{t-1}-S_{t}}{(1+r)^{t }}}=\součet _{t=1}^{n}{\frac {(1+q)S_{t-1}}{(1+r)^{t}}}-\součet _{t =1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}={\frac {1+q}{1+r}}\součet _{t=1 }^{n}{\frac {S_{t-1}}{(1+r)^{t-1}}}-\součet _{t=1}^{n}{\frac {S_{t }}{(1+r)^{t}}}

Označme pro pohodlí a s přihlédnutím k tomu, co a co (na konci období musí být nástroj splacen), rovnice pro EIR bude mít tvar: $k={\frac {1+q}{1+r))$ $\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t-1}}{(1+r)^{t-1}}}=\sum _{t=1}^ {n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}-{\frac {S_{n}}{(1+r)^{n}}}+S_{0 }$ $S_{n}=0$

S_{0}=k(\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}+S_{0})- \sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}

Dostáváme tedy rovnost

(1-k)S_{0}=-(1-k)\součet _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t} }}

Pokud pak tento výraz vede k nemožné rovnosti: protože levá a pravá strana rovnosti jsou nenulové a mají opačná znaménka. Jediným důsledkem toho je tedy to, že . To znamená , že nominální a efektivní sazby za základní období jsou si navzájem rovny, což bylo třeba prokázat. $k<>1$ ${\displaystyle S_{0}=-\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t))))$ $k=1$ $q=r$

EIR lze tedy v případě takových nástrojů určit nikoli řešením rovnic, ale vzorcem přímo z nominální sazby dle smlouvy a frekvence plateb. Pokud je nominální roční sazba rovna Q a platby se provádějí ve stejných obdobích t dnů, pak se počet základních období za rok rovná m=365/ta roční efektivní úroková sazba se bude rovnat

$R=(1+Q/m)^{m}-1$

Příklady takových úročených nástrojů jsou všechny standardní úvěry a vklady, pokud nemají při výpočtu EIR zohledněny dodatečné příjmy nebo výdaje. Nezáleží přitom na splátkovém kalendáři (anuitní, diferencované, na konci období apod.), důležité jsou pouze stejné lhůty pro provádění plateb (případně úroková kapitalizace), absence jiných peněžních toků jiné než splacení jistiny dluhu a úroků z jeho zůstatku.

Je však třeba poznamenat, že pokud se úrok počítá např. na měsíční bázi, podle přesného počtu dní v měsíci, pak formálně nemají měsíce stejnou dobu trvání, takže výše uvedené podmínky nejsou zcela přesné a proto výše uvedený vzorec není přesný. Chyba s tím spojená však většinou není podstatná a v praxi ji lze v mnoha případech zanedbat.

Nejjednodušší speciální případ: úročený nástroj se splácením dluhu na konci období

V nejjednodušším případě, kdy existuje nástroj (například půjčka nebo dluhopis) s hodnotou S (částka půjčky, nominální hodnota), který je na konci lhůty splacen přesně ve stejné výši, z níž úrok je časově rozlišována sazbou q pro pevné základní období (kupónové období ) po dobu životnosti nástroje, lze přímo ukázat, že EIR za základní období se rovná nominální sazbě pro toto období. Skutečně, rovnice pro roční EPS pro toto základní období je

$S=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q*S}{(1+r)^{i))}+{\frac {S}{(1+r) ^{n}}}=qS{\frac {1-(1+r)^{-n}}{r}}+S(1+r)^{-n}$

Odtud

$S(1-(1+r)^{-n})=qS{\frac {1-(1+r)^{-n}}{r}}$

Zmenšením levé a pravé části dostaneme, že q=r , tedy EPS za základní období a nominální sazba za stejné období se navzájem rovnají. $S(1-(1+r)^{-n})$

Upozorňujeme, že pro stejný dluhopis, zakoupený nikoli za nominální hodnotu, ale za jinou tržní cenu, výše uvedené tvrzení o rovnosti EPS a nominální sazby pro základní období již neplatí, protože částka odlišná od původní je během období splácena.

Efektivní úroková sazba

Formalizovaný popis

Obecná definice

EIR úročeného nástroje s úplným splacením původní částky během (nebo na konci) období

Viz také