Jádro Dirichlet

Dirichletovo jádro je -periodická funkce daná následujícím vzorcem [1] [2] : $2\pi$

D_{n}(x)=\součet _{{k=-n}}^{n}{\frac {e^{{ikx}}}{2}}={\frac {1}{2}} +\sum _{{k=1}}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right )}{2\sin(x/2)}}.

Funkce je pojmenována po francouzsko-německém matematikovi Dirichletovi . Tato funkce je kernel , konvoluce , se kterou dává částečný součet trigonometrické Fourierovy řady . To nám umožňuje analyticky vyhodnotit vztah mezi původní funkcí a jejími aproximacemi v prostoru . $L_2[-\pi,\pi]$

Vztah s Fourierovou řadou

Nechť být integrovatelný na a -periodický, pak $f(x)$ $[-\pi,\pi]$ $2\pi$ $\forall x\in {\mathbb {R}}~\forall n\in {\mathbb {N}}$

$S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+u){\frac {\ sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}du={\frac {1}{\pi }}\int \limits _ {-\pi }^{\pi }f(x+u)D_{n}(u)du$

Tento vzorec je jedním z nejdůležitějších v teorii Fourierových řad.

Důkaz

Uvažujme n-tý dílčí součet Fourierovy řady.

$S_{n}(f;x)={\frac {a_{0}}{2}}+\součet \limits _{{k=1}}^{{n}}(a_{k}\cos( kx)+b_{k}\sin(kx))\qquad (1)$

$S_{n}(f;x)={\frac 1{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)dt+\součet _{{k =1))^{n}\left[\left({\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\cos(kt )dt\right)\cos(kx)+\left({\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\sin(kt )dt\right)\sin(kx)\right]\qquad (2)$

$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\left[{\frac 1{ 2}}+\součet _{{k=1}}^{n}\left(\cos(kt)\cos(kx)+\sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt\ qquad(3)$

Aplikováním diferenčního kosinusového vzorce na výraz pod znaménkem součtu dostaneme:

$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\left[{\frac 1{ 2}}+\součet _{{k=1}}^{n}\left(\cos(k(tx)\right)\right]dt\qquad (4)$

Zvažte součet kosinů: ${\frac 1{2))+\cos \alpha +\cos(2\alpha )+...+\cos(n\alpha )$

Každý člen vynásobíme a transformujeme podle vzorce $2\sin({\frac \alpha {2)))$ $2\sin \alpha \cos \beta =\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )$

$2\sin({\frac \alpha {2}})\left({\frac 1{2}}+\cos \alpha +\cos(2\alpha )+...+\cos(n\alpha ) \right)=\sin {\frac \alpha {2}}-\sin {\frac \alpha {2}}+\sin {\frac {3\alpha }{2}}-\sin {\frac {3 \alpha }{2}}+...+\sin(n+{\frac {1}{2}})\alpha =\sin(n+{\frac {1}{2}})\alpha$

Aplikováním této transformace na vzorec (4) získáme:

$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t){\frac {\sin(n+ {\frac {1}{2)))(tx)}{2\sin {\frac {tx}{2))))dt\qquad (5)$

Provádíme změnu proměnné $u=tx$

$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi -x}}^{{\pi -x}}f(x+u){\ frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac { u}{2}}}}du\qquad (6)$

Vlastnosti jádra Dirichlet

$D_{n}(x)$ je -periodická a sudá funkce . $2\pi$
$\forall n\in \mathbb {N} ~\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(u)du={\pi }$

Poznámky

↑ Matematická encyklopedie / Vinogradov I.M. - M .: Sovětská encyklopedie. - T. 2. - S. 194.
↑ Dirichletkernel . (neurčitý)

Viz také

Konjugovat jádro Dirichlet
Fejérovo jádro
Jacksonovo jádro