Axiom závislé volby

Axiom závislé volby je jedním z oslabení axiomu volby . Obvykle se označuje jako . Axiom závislého výběru vyplývá z plného axiomu výběru a zahrnuje axiom spočetného výběru , tedy v . $\mathbf {DC}$ $\mathbf {ZF}$ $\mathbf {AC} _{\omega }<\mathbf {DC} <\mathbf {AC}$

Výrok: je-li dána libovolná neprázdná množina s relací left-complete (relace se nazývá left-complete if for any exists , that ), pak existuje taková posloupnost prvků , že [1] : $X$ $R$ $R$ $X$ $y$ $xRy$ $x_{n}$ $X$

\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}Rx_{n+1}

Následující tvrzení jsou ekvivalentní v axiomu závislého výběru: Baerova věta o kategorii [2] ; Löwenheimova-Skolemova věta [3] [4] ; Zornovo lemma pro konečné řetězce . Zornovo lemma pro konečné řetězce má dvě ekvivalentní formulace: $\mathbf {ZF}$

jestliže v částečně uspořádané množině jsou všechny řetězce konečné, pak množina má maximální prvek. [1] ;
jestliže v částečně uspořádané množině jsou všechny dobře uspořádané řetězce konečné, pak množina má maximální prvek. [5]

(I když je druhá formulace silnější než první, jsou ekvivalentní v .) $\mathbf {ZF}$

Zobecnění

Axiom závislé volby pro transfinitní posloupnosti: pokud při formulaci axiomu závislé volby připustíme nejen posloupnosti spočetné, ale i transfinitní, můžeme získat posílení tohoto axiomu.

Buď ordinální. Funkce se nazývá transfinitní posloupnost typu . Označte množinou všech sekvencí typu menší než . Závislý výběrový axiom pro transfinitní posloupnosti je formulován pro určitou počáteční ordinálu a označuje se jako . $\gamma$ $x_{\alpha }\dvojtečka \gamma \to X$ $\gamma$ ${\displaystyle S_{\gamma ))$ $\gamma$ $\lambda$ ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda ))$

Nechť je dána neprázdná množina a levá úplná binární relace . Potom tvrdí, že existuje transfinitní posloupnost typu , že [5] . $X$ $R\subset S_{\gamma }\times X$ ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda ))$ ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \lambda ))$ $\lambda$ $\forall \mu <\lambda \colon \{a_{n}\}_{n\in \mu }Ra_{\mu }$

Axiom je ekvivalentní . Zobecnění pro velké ordinály jsou přísnější než to, ale slabší než plný axiom výběru: . Splnění pro všechny počáteční ordinály je ekvivalentní úplnému axiomu výběru: [6] . ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\omega ))$ $\mathbf {DC}$ $\mathbf {DC} <\mathbf {DC} _{\omega _{1}}<\mathbf {DC} _{\omega _{2}}<\ldots <\mathbf {AC}$ ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda ))$ $(\forall \lambda \colon \mathbf {DC} _{\lambda })\Leftrightarrow \mathbf {AC}$

Pro axiomy existují odpovídající ekvivalentní oslabení Zornova lemmatu: ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda ))$

pokud jsou v částečně objednané sadě všechny řetězy kompletně objednány, mají typ objednávky menší než a mají horní mez, pak má sada maximální prvek [5] ; $\lambda$
pokud v částečně uspořádané sadě má každý dobře uspořádaný řetězec typ objednávky menší než a má horní mez, pak má sada maximální prvek [5] . $\lambda$

Poznámky

↑ 12 Wolk , 1983 , s. 365.
↑ Blair, 1977 .
↑ Moore, 1982 , str. 325.
↑ Boolos, 1989 , s. 155.
↑ 1 2 3 4 Wolk, 1983 , str. 366.
↑ Wolk, 1983 , str. 367.

Literatura

Wolk Elliot S. O principu závislých voleb a některých formách Zornova lemmatu (anglicky) // Canadian Mathematical Bulletin : journal. - 1983. - Sv. 26 , č. 3 . — S. 365–367 . - doi : 10.4153/CMB-1983-062-5 .
Blair Charles E. Věta o kategorii Baire implikuje princip závislých voleb // Bull. Akad. Polon. sci. Ser. sci. Matematika. Astron. Phys. : časopis. - 1977. - T. 25 , č. 10 . — S. 933–934 .
Moore Gregory H. Zermelo's Axiom of Choice: Jeho původ, vývoj a vliv. - Springer, 1982. - ISBN 0-387-90670-3 .
Boolos George S., Jeffrey Richard C. Vyčíslitelnost a logika. — 3. - Cambridge University Press, 1989. - ISBN 0-521-38026-X .