Algebraická nezávislost

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. dubna 2014; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Algebraická nezávislost je pojetí teorie rozšíření pole .

Nechte nějaké rozšíření pole . Prvky se nazývají algebraicky nezávislé, pokud pro libovolný neidenticky nulový polynom s koeficienty z pole $L$ $K$ $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $P(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $K$

P(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\neq 0

Jinak se prvky nazývají algebraicky závislé. Nekonečná množina prvků se nazývá algebraicky nezávislá, pokud je každá její konečná podmnožina nezávislá, a jinak se nazývá závislá. Definice algebraické nezávislosti může být rozšířena na případ, kdy je kruh a je jeho podkruhem . $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $L$ $K$

Algebraická nezávislost známých konstant

Nechť je známo, že konstanty a jsou transcendentální, ale není známo, zda je jejich množina algebraicky nezávislá na . [1] Není ani známo, zda . [2] Nesterenko v roce 1996 dokázal, že: $e$ $\pi$ $\mathbb {Q}$ $\pi +e$

čísla , a jsou algebraicky nezávislá nad ; [3] $\pi$ $e^{{\pi }}$ $\Gamma (1/4)$ $\mathbb {Q}$
čísla a jsou algebraicky nezávislá nad ; $e^{{\pi {\sqrt {3}}}}$ $\Gamma (1/3)$ $\mathbb {Q}$
pro všechna kladná celá čísla jsou čísla algebraicky nezávislá nad ; [čtyři] $n$ $e^{{\pi {\sqrt {n}}}}$ $\mathbb {Q}$

Příklad

Podmnožina oboru reálných čísel není na poli algebraicky nezávislá, protože polynom je netriviální s racionálními koeficienty a . $\{{\sqrt {\pi }};2\pi +1\}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1$ $P({\sqrt {\pi }},2\pi +1)=0$

Viz také

Lindemann-Weierstrassova věta

Odkazy

Chen, Johnny. Algebraically Independent (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Poznámky

↑ Patrick Morandi. Teorie pole a Galois . - Springer, 1996. - S. 174. - ISBN 978-0-387-94753-2 . Archivováno 8. října 2021 na Wayback Machine
↑ Green, Ben (2008), III.41 Iracionální a transcendentální čísla, in Gowers, Timothy, The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, s. 222
↑ Manin, Yu. I. Úvod do moderní teorie čísel / Yu. I. Manin, A. A. Panchishkin. - Druhý. - 2007. - Sv. 49. - S. 61. - ISBN 978-3-540-20364-3 .
↑ Nesterenko, Jurij V (1996). „Modulární funkce a problémy transcendence“. Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 322 (10): 909-914.