Alternativní

Alternativa ( binární asociativita ) je vlastnost binární operace , která je oslabenou verzí asociativity : pro libovolné prvky $\circ$ $x,\;y$

$\ (x \circ y) \circ y=x \circ (y \circ y)$ - správná alternativa,
$\ y \circ (y \circ x)=(y \circ y) \circ x$ - levá alternativa.

Každá asociativní operace je alternativní; obráceně to obecně neplatí: například násobení oktonionů je alternativní, ale ne asociativní.

V každém magmatu , jehož dvojice prvků vytváří asociativní submagma, je binární operace alternativní. V obecném případě to neplatí, ale v případě neasociativních kruhů alternativnost kruhu implikuje asociativitu podkruhů generovaných každou dvojicí prvků (Artinův teorém ).

Historicky prvním příkladem alternativní struktury jsou Cayleyova čísla , která tvoří alternativní tělo ; důležité aplikace ve fyzice se nacházejí v alternativních algebrách .

Další možností pro oslabení asociativnosti je mocninná asociativita . Někdy je tato vlastnost považována za slabší než alternativnost, protože za určitých dalších podmínek alternativnost implikuje mocenskou asociativitu, ale obecně tomu tak není: například pro magma prvků s alternativním násobením zavedeným následovně: $e_{\star },e_{1},e_{2}\dots$

${\displaystyle e_{i}\circ e_{j}=e_{i+j))$ kromě , ${\displaystyle e_{3}\circ e_{3}=e_{\star ))$
${\displaystyle e_{\star }\circ e_{i}=e_{i}\circ e_{\star }=e_{i+6))$ ,
${\displaystyle e_{\star }\circ e_{\star }=e_{12))$

mocenská asociativita selhává:

((e_{1}\circ e_{1})\circ e_{1})\circ ((e_{1}\circ e_{1})\circ e_{1})=e_{3} \circ e_{3}=e_{\star }\neq e_{6}=e_{1}^{6}

Literatura

Kurosh A.G. Obecná algebra . - M .: Mir , 1970. - 162 s.
Cohn P. Univerzální algebra . - Moskva: Mir , 1968. - 351 s.
Alternativní kruhy a algebry - článek z Encyklopedie matematiky . K. A. Ževlakov