Magma (algebra)

Magma ( grupoid ) v obecné algebře je algebra sestávající z množiny M s jednou binární operací M × M → M . Kromě požadavku, aby byla souprava uzavřena s ohledem na provoz na ní uvedený , nejsou na provoz a soupravu kladeny žádné další požadavky.

Termín " magma " navrhl Bourbaki . Termín „ grupoid “ je starší, zavedl jej Oistin Ore , ale termín také odkazuje na další obecnou algebraickou strukturu, kategorií-teoretický grupoid , a v novější literatuře se v tomto smyslu běžně používá.

Obecně řečeno, magmata se obvykle nezkoumají; místo toho jsou studovány různé typy, které se liší v dodatečně zavedených axiomech. Běžně studované typy magmatu zahrnují následující:

kvazigrupa je neprázdné magma, ve kterém je štěpení vždy možné ;
smyčka je kvazigrupa s neutrálním prvkem ;
pologrupa - magma s asociativní operací ;
monoid je pologrupa s neutrálním prvkem ;
grupa je monoid s inverzním prvkem nebo, stejně jako asociativní smyčka (která je vždy kvazigrupou);
abelovská skupina je skupina s komutativní operací .

Magma morfismus je funkce , která spojuje magma s magmatem , které zachovává binární operaci: $f\colon M\to N$ $M$ $N$

f(x\;*_{M}\;y)=f(x)\;*_{N}\;f(y)

kde a označují binární operace na resp . $*_{M}$ $*_{N}$ $M$ $N$

Kombinatorika a závorky

Pro obecný, neasociativní případ lze operaci magmatu mnohokrát opakovat. K označení pořadí se používají závorky. Výsledný řetězec se skládá ze znaků označujících prvky magmatu a vyvážených závorek. Množina všech možných řetězců vyvážených závorek se nazývá jazyk Dyck . Celkový počet různých způsobů zápisu n aplikací operátoru magmatu je dán katalánským číslem . Například , což je ekvivalentní tvrzení, že a jsou jedinými možnými způsoby, jak určit pořadí aplikace binárního magmatu dvakrát. $C_{n}$ $C_{2}=2$ $(ab)c$ $a(bc)$

Pro zjednodušení zápisu a snížení počtu použitých závorek se používá symbol. Chcete-li určit vyšší prioritu pro provedení operace, použijte záznam vedle ní. Pokud je například operace magmatu „·“, pak xy · z je zkratka pro ( x · y ) · z . Další zkratky jsou možné pomocí mezer. Například zápis xy z wv místo ( ( x y ) z ) ( w v ) . _ U složitějších výrazů je samozřejmě obtížné vyhnout se použití závorek. Způsob, jak se vyhnout používání závorek, je předpona notace , která však není intuitivní.

Literatura

Kulikov L. Ya. Algebra a teorie čísel. - M . : Vyšší škola, 1979. - 559 s.