Abelovská skupina

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. srpna 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Abelovská (nebo komutativní ) skupina - skupina, ve které je skupinová operace komutativní ; jinými slovy, skupina je abelian jestliže pro nějaké dva elementy . $(G,\;*)$ $a*b=b*a$ $a,\;b\v G$

Obvykle se k označení skupinové operace v abelovské skupině používá aditivní zápis, to znamená, že skupinová operace je označena znaménkem a nazývá se sčítání [1] $+$

Jméno je dáno na počest norského matematika Nielse Abela .

Příklady

Skupina paralelních translace v lineárním prostoru.
Jakákoli cyklická skupina je abelovská. Opravdu, pro všechny a je to pravda $G=\langle a\rangle$ $x=a^{n}$ $y=a^{m}$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{{m+n}}=a^{n}a^{m}=yx$ .
- Konkrétně, množina celých čísel je komutativní grupa sčítáním; totéž platí pro třídy zbytků $\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z } \,.$
Jakýkoli kruh je komutativní (abelovská) skupina svým přidáním; příkladem je obor reálných čísel s operací sčítání čísel. $\mathbb {R}$
Invertibilní prvky komutativního kruhu (zejména nenulové prvky jakéhokoli pole ) tvoří abelovskou skupinu násobením. Například abelovská grupa je množina nenulových reálných čísel s operací násobení.

Související definice

Analogicky s dimenzí vektorových prostorů má každá abelovská skupina svou hodnost . Je definována jako minimální dimenze vektorového prostoru nad polem racionálních čísel , do kterého je vnořen torzní faktor grupy . $\mathbb {Q}$

Vlastnosti

Konečně vytvořené abelovské skupiny jsou izomorfní k přímým součtům cyklických skupin .
- Konečné abelovské grupy jsou izomorfní k přímým součtům konečných cyklických grup.
Jakákoli abelovská skupina má přirozenou modulovou strukturu v kruhu celých čísel . Opravdu, nechť je přirozené číslo a je prvkem komutativní grupy s operací označenou +, pak můžeme definovat obojí ( krát) a . $n$ $X$ $G$ $nx$ $x+x+\ldots +x$ $n$ $(-n)x=-(nx)$
- Výroky a věty, které jsou pravdivé pro abelovské grupy (tj. moduly nad hlavní ideální doménou ), lze často zobecnit na moduly nad libovolnou hlavní ideální doménou. Typickým příkladem je klasifikace
finitely generovaných Abelovských grup , kterou lze zobecnit na klasifikaci libovolných finitely generovaných modulů nad doménou hlavních ideálů . $\mathbb {Z}$

Množina homomorfismů všech skupinových homomorfismů od do je sama o sobě abelovská grupa. Opravdu, nechť jsou dvě grupové homomorfismy mezi abelovskými grupami, pak jejich součet , daný jako , je také homomorfismus (to neplatí, pokud to není komutativní grupa).

\operatorname {Hom}(G,\;H)

G

H

f,\;g:G\až H

f+g

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

H

Pojem abelianity úzce souvisí s pojmem středu skupiny - množina skládající se z těch jejích prvků, které komutují s každým prvkem skupiny , a hrajících roli jakési "míry abelianity". Skupina je abelovská právě tehdy, když se její střed shoduje s celou skupinou.

Z(G)

G

G

Konečné abelovské skupiny

Základní teorém o struktuře konečné abelovské grupy říká, že jakákoli konečná abelovská grupa může být rozložena na přímý součet jejích cyklických podgrup, jejichž řády jsou mocniny prvočísel . Je to důsledek obecné věty o struktuře konečně generovaných abelovských grup pro případ, kdy grupa nemá prvky nekonečného řádu. je izomorfní k přímému součtu právě tehdy , když a jsou coprime . $\mathbb{Z } _{{mn}}$ $\mathbb{Z } _{m}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $m$ $n$

Proto lze napsat abelovskou skupinu ve formě přímého součtu $G$

\mathbb{Z } _{{k_{1}}}\oplus \ldots \oplus \mathbb{Z } _{{k_{u}}}

dvěma různými způsoby:

Kde jsou prvočísla $k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}$
Kde se dělí , kdo dělí , a tak dále až do . $k_{1}$ $k_{2}$ $k_{3}$ $k_{u}$

Lze jej například rozložit na přímý součet dvou cyklických podskupin řádů 3 a 5: . Totéž lze říci o jakékoli abelovské skupině řádu patnáct; v důsledku toho docházíme k závěru, že všechny abelovské skupiny řádu 15 jsou izomorfní. $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\mathbb{Z } _{{15}}$ $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}$

Variace a zobecnění

Diferenciální grupa je Abelovská grupa , ve které je dán takový endomorfismus , že . Tento endomorfismus se nazývá diferenciální . Prvky diferenciálních grup se nazývají řetězce , prvky jádrových cyklů , prvky hranic obrazu . ${\mathbf {C}}$ $d\dvojtečka {\mathbf {C}}\to {\mathbf {C}}$ $d^{2}=0$ $\ker \,d$ ${\mathrm {Im}}\,d$
Prstenec je abelovská grupa, na které je dána další binární operace „násobení“, která splňuje axiomy distributivity .
Metabelská skupina je skupina, jejíž komutátorová podskupina je abelovská.
Nilpotentní grupa je grupa, jejíž centrální řada je konečná.
Řešitelná grupa je grupa, jejíž komutátorová řada se stabilizuje na triviální grupě.
Dedekindova skupina je skupina, jejíž každá podskupina je normální .

Viz také

Algebraický systém

Poznámky

↑ Abelovská skupina - článek z Encyklopedie matematiky . Yu L. Ershov

Literatura

Kurz algebry Vinberg E. B. - 3. vyd. - M. : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 výtisků. — ISBN 5-88688-060-7 . .
Fuchs L. Nekonečné abelovské grupy. - Svět, 1974.

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Kleinová čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko skupiny J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace