Lorentzova skupina

Stabilní verze byla zkontrolována 24. června 2022 . Existují neověřené změny v šablonách nebo .

Lorentzova grupa je skupina Lorentzových transformací Minkowského prostoru , které zachovávají počátek souřadnic (tj. jsou lineárními operátory ) [1] .

Lorentzova skupina se skládá z homogenních lineárních transformací čtyřrozměrných časoprostorových souřadnic:

x_{\nu }'=\sum _{\mu }L_{\nu \mu }x_{\mu },

x_{0}=ct,\quad x_{1}=x,\quad x_{2}=y,\quad x_{3}=z,

které ponechávají invariantní kvadratický tvar s podpisem (1, 3), což je matematický výraz pro čtyřrozměrný interval [2] . Zejména Lorentzova skupina zahrnuje prostorové rotace ve třech rovinách , Lorentzovy transformace , odrazy prostorových os : a všechny jejich produkty. ${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2))$ $xy,\yz,\zx$ $xt,\yt,\zt$ $x, y, z$ $x\to -x,\ y\to -y,\ z\to -z$

Lorentzova grupa je speciálním případem neurčité ortogonální grupy [3] , a proto se označuje (buď , což odpovídá kvadratické formě s opačnými znaménky a permutovanými souřadnicemi), nebo , a také [2] . $O(1,3)$ $O(3,1)$ $O(1,3;\mathbb {R} )$ $\mathrm {O} _{1,3}(\mathbb {R} )$ $\mathcal{L}$

Speciální Lorentzova grupa nebo vlastní Lorentzova grupa je podgrupa transformací, jejichž maticový determinant je roven 1 (v obecném případě je roven ±1). $SO(1,3)$

Ortochronní Lorentzova grupa (také označovaná a lze ji ztotožnit s projektivní (neurčitou) ortogonální grupou ), speciální (nebo vlastní) ortochronní Lorentzova grupa - podobná, ale všechny transformace zachovávají směr budoucnosti v čase ( souřadnicové znaménko ). Skupina , jediná ze čtyř, je spojena a izomorfní s Möbiovou skupinou . $O_{\uparrow }(1,3)$ $\mathrm {O} _{1,3}^{+}(\mathbb {R} )$ $\mathrm {PO} _{1,3}(\mathbb {R} )$ $SO_{\uparrow }(1,3)$ $x^0$ $SO_{\uparrow }(1,3)$

Někdy je ortochronní podmínka zahrnuta v definici Lorentzovy grupy, v takovém případě lze grupu zahrnující transformace, které mění směr času, nazvat obecnou Lorentzovu grupou [4] [5] . Někdy je Lorentzova grupa chápána také jako vlastní ortochronní Lorentzova grupa [6] .

Zastoupení skupiny Lorentz

Symetrie ve fyzice
proměna	Odpovídající invariance	Odpovídající zákon zachování
↕ Čas vysílání	Jednotnost času	…energie
⊠ C , P , CP a T - symetrie	Časová izotropie	... parita
↔ Vysílací prostor	Homogenita prostoru	…impuls
↺ Rotace prostoru	Izotropie prostoru	… hybnost
⇆ Lorentzova skupina (posílení)	Relativity Lorentzova kovariance	…pohyby těžiště
~ Transformace měřidla	Invariance měřidla	... nabít

Nechť fyzikální veličinu (například čtyřrozměrný vektor energie-hybnosti nebo potenciál elektromagnetického pole) popíšeme vícesložkovou souřadnicovou funkcí . Při přechodu z jedné inerciální vztažné soustavy do druhé se složky fyzikální veličiny vzájemně lineárně transformují: . V tomto případě má matice pořadí rovné počtu složek veličiny . Každý prvek Lorentzovy grupy odpovídá lineární transformaci , identitní prvek Lorentzovy grupy (identická transformace) odpovídá jednotkové transformaci a součin dvou prvků Lorentzovy grupy odpovídá součinu dvou transformací . Systém matic s uvedenými vlastnostmi se nazývá lineární zobrazení Lorentzovy grupy. [7] $U_{\alpha }(x)$ $u_{\beta }'=\sum _{\alpha }\Lambda _{\beta \alpha }u_{\alpha }(x)$ $\lambda$ $\nu$ ${\displaystyle u_{\alpha ))$ $P$ $\Lambda (P)$ $\lambda=1$ $P_1$ $P_2$ $\Lambda (P_{1}P_{2})=\Lambda (P_{1})\Lambda (P_{2})$

Reprezentace Lorentzovy skupiny ve složitých lineárních prostorech jsou pro fyziku velmi důležité, protože jsou spojeny s konceptem rotace . Všechny ireducibilní reprezentace speciální ortochronní Lorentzovy grupy lze konstruovat pomocí spinorů . $SO_{\uparrow }(1,3)$

Poznámky

↑ Polopřímý součin Lorentzovy skupiny a skupiny paralelních překladů Minkowského prostoru se z historických důvodů nazývá Poincarého skupina . Na druhé straně Lorentzova grupa obsahuje jako svou podgrupu grupu rotací 3-rozměrného prostoru.
↑ 1 2 S. I. Azakov, V. P. Pavlov. Lorentzova skupina // Fyzická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M .: Sovětská encyklopedie (sv. 1-2); Velká ruská encyklopedie (sv. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Brian C. Hall. Lžiové grupy, lživé algebry a reprezentace: základní úvod. — Springer, 2003. — S. 7.
↑ Gelfand, Minlos, Shapiro, 1958 , str. 165-166.
↑ Širkov, 1980 , s. 146.
↑ Naber, 2012 , str. 19.
↑ Širkov, 1980 , s. 147.

Literatura

Gelfand I. M. , Minlos R. A. , Shapiro Z. Ya. Zástupy rotační skupiny a skupiny Lorentz. - M. : Fizmatgiz, 1958. - 367 s.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Moderní geometrie: metody a aplikace. - M. : Nauka, 1986. - 760 s.
Lyubarsky G. Ya. Teorie grup a její aplikace ve fyzice. - M. : Fizmatgiz, 1958. - 355 s.
Naimark M. A. Lineární reprezentace skupiny Lorentz. - M. : Fizmatgiz, 1958. - 376 s.
Isaev A.P., Rubakov V.A. Teorie grup a symetrií. koncové skupiny. Lieovy grupy a algebry. - M. : URSS, 2018. - 491 s.
Skupina Fedorov F.I. Lorentz. - M. : Nauka, 1979. - 384 s. (Je prezentována vektorová parametrizace Lorentzovy skupiny a její aplikace)
Artin, Emily. Geometrická algebra . — New York: Wiley, 1957. . Viz kapitola III pro ortogonální grupy O(p, q).
Carmeli, Moshe. Teorie grup a obecná teorie relativity, reprezentace Lorentzovy grupy a jejich aplikace na gravitační pole . — McGraw-Hill, New York, 1977 . Kanonický odkaz; viz kapitoly 1-6 pro reprezentace skupiny Lorentz.
Frankel, Theodore. The Geometrie of Physics (2nd Ed.) (anglicky) . — Cambridge: Cambridge University Press , 2004. . Vynikající zdroj pro teorii lži, svazky vláken, spinoriální potahy a mnoho dalších témat.
Fulton, William; & Harris, Joe. Teorie reprezentace : první kurz . — New York: Springer-Verlag , 1991. . Viz přednáška 11 pro neredukovatelné reprezentace SL(2, C ).
Hall, GS symetrie a struktura křivosti v obecné relativitě . - Singapur: World Scientific , 2004 . Viz Kapitola 6 pro subalgebry Lie algebry Lorentzovy grupy.
Hatcher, Allene. Algebraická topologie . - Cambridge: Cambridge University Press , 2002. . Podívejte se také na online verzi . Datum přístupu: 3. července 2005. Archivováno z originálu 20. února 2012. (neurčitý) Krásně ilustrovanou diskuzi o pokrytí prostorů najdete v části 1.3 . Viz část 3D pro topologii skupin rotace.
Naber, Gregory. Geometrie Minkowského prostoročasu . — New York: Springer , 2012. — ISBN 978-1-4419-7838-7 . . Vynikající reference o Minkowského časoprostoru a Lorentzově skupině.
Needham, Tristam. Vizuální komplexní analýza . — Oxford: Oxford University Press , 1997. . Viz kapitola 3 pro skvěle ilustrovanou diskuzi o Möbiových transformacích.
Shirkov DV Fyzika mikrokosmu. - M . : Sovětská encyklopedie, 1980. - 527 s.

Viz také

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Kleinová čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko skupiny J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace