Faktorová skupina

Kvocientová skupina je množina kosetů skupiny s ohledem na její normální podgrupu , která je sama o sobě skupinou se skupinovou operací definovanou zvláštním způsobem.

Faktorová skupina skupiny normální podskupinou je obvykle označena . $G$ $H$ $G/H$

Obraz grupy pod homomorfismem je izomorfní k jeho faktorové grupě s ohledem na jádro tohoto homomorfismu.

Definice

Dovolit být skupina , být její normální podskupina a být libovolný prvek. Pak na cosets in $G$ $H$ $v G$ $H$ $G$

aH=\{\,ah\mid \,h\v H\}

můžete zadat násobení :

(aH)(bH)=abH

Je snadné zkontrolovat, že toto násobení nezávisí na volbě prvků v kosetách, tedy if a , then . Toto násobení určuje strukturu skupiny na množině coset a výsledná skupina se nazývá faktorová skupina s ohledem na . $aH=a'H$ $bH=b'H$ $abH=a'b'H$ $G/H$ $G$ $H$

Vlastnosti

Věta o homomorfismu: Pro jakýkoli homomorfismus $\varphi :G\to K$

G/{\mathrm {Ker}}\,\varphi \cong \varphi (G)

, to znamená, že kvocientová skupina s ohledem na jádro je izomorfní k jeho obrazu v .

G

{\mathrm {ker}}\,\varphi

\varphi (G)

K

Mapování definuje přirozený homomorfismus . $a\mapsto aH$ $G\to G/H$
Pořadí se rovná indexu podskupiny . V případě konečné grupy se rovná . $G/H$ $[G:H]$ $G$ $|G|/|H|$
Pokud je abelovský , nilpotentní , rozpustný , cyklický nebo konečně generovaný , pak u bude mít stejnou vlastnost. $G$ $G/H$
$G/G$ je izomorfní k triviální skupině ( ), izomorfní k . $\{E\}$ $G/{e}$ $G$

Příklady

Nechť , , pak je izomorfní k . $G={\mathbb {Z}}$ $H=n\mathbb {Z}$ $G/H$ $\mathbb {Z} _{n}$
Nechť (skupina nedegenerovaných horních trojúhelníkových matic ), (skupina horních jednotkových matic ), pak je izomorfní ke skupině diagonálních matic . $G={\mathbf {UT}}_{n}$ $H={\mathbf {SUT}}_{n}$ $G/H$
Nechť ( symetrická grupa ), ( kvartérní Kleinova grupa , sestávající z permutací e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) je pak izomorfní k . $G=S_{4}$ $H=V_{4}$ $G/H$ $S_{3}$
Nechť (symetrická skupina), ( střídající se skupina ), pak je izomorfní k . ${\displaystyle G=S_{n))$ $H=A_{n}$ $G/H$ ${\mathbb {Z}}_{2}$
Nechť ( kvaternionová skupina ), (cyklická skupina sestávající z 1, −1) je pak izomorfní k . $G=Q_{8}$ ${\displaystyle H=\mathbb {Z} _{2))$ $G/H$ $V_{4}$

Variace a zobecnění

Poznámky

Literatura

Kurz algebry Vinberg E. B. - M .: Factorial Press, 2002. - ISBN 5-88688-060-7 .

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Kleinová čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ skupiny Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace