Skupina kvaternionů

V teorii skupin , skupina čtveřice je non- Abelian skupina osmého řádu , izomorfní k souboru osmi čtveřic s operací násobení. Často se označuje písmenem Q nebo Q 8 a určuje se podle úkolu skupiny

Q=\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk= -1\rangle ,

kde 1 je prvek identity a prvek −1 komutuje s ostatními prvky skupiny.

Hrabě z Cayley

Skupina Q 8 má stejné uspořádání jako dihedrální skupina D 4 , ale má jinou strukturu, jak lze vidět na Cayleyových grafech a cyklových diagramech:

hrabě z Cayley		graf cyklu
Q 8 Červené šipky označují násobení vpravo i a zelené šipky označují násobení j vpravo .	D 4 Dihedrální skupina	Q8 _	Dih 4

Dihedrální skupina D 4 se získá ze štěpených kvaternionů stejným způsobem jako Q 8 z kvaternionů.

Cayleyho stůl

Cayleyova tabulka (tabulka násobení) pro Q [1] :

Q×Q	jeden	−1	i	− i	j	− j	k	− k
jeden	jeden	−1	i	− i	j	− j	k	− k
−1	−1	jeden	− i	i	− j	j	− k	k
i	i	− i	−1	jeden	k	− k	− j	j
− i	− i	i	jeden	−1	− k	k	j	− j
j	j	− j	− k	k	−1	jeden	i	− i
− j	− j	j	k	− k	jeden	−1	− i	i
k	k	− k	j	− j	− i	i	−1	jeden
− k	− k	k	− j	j	i	− i	jeden	−1

Násobení šesti imaginárních jednotek {± i , ± j , ± k } funguje jako vektorový součin jednotkových vektorů v trojrozměrném euklidovském prostoru .

{\begin{alignedat}{2}ij&=k,&ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j.\end{alignedat))

Vlastnosti

Skupina čtveřice má neobvyklou vlastnost bytí Hamiltonian - nějaká podgrupa skupiny Q je normální podgrupa a skupina sama není abelian. [2] Jakákoli hamiltonovská grupa obsahuje kopii Q . [3]

Jeden může sestrojit čtyřrozměrný vektorový prostor se základem {1, i , j , k } a přeměnit ho na asociativní algebru pomocí výše uvedené tabulky násobení základních vektorů a pokračovat v operaci násobení distributivitou . Výsledná algebra bude tělem čtveřice . Všimněte si, že to není totéž jako grupová algebra Q (která má rozměr 8). Naopak lze začít s čtveřicemi a definovat kvaternionovou grupu jako multiplikativní podgrupu sestávající z osmi prvků {1, −1, i , − i , j , − j , k , − k }. Komplexní čtyřrozměrný vektorový prostor se stejným základem se nazývá biquaternionová algebra .

Všimněte si, že i , ja k mají řád 4 v Q a libovolné dva z nich generují celou skupinu. Další úkol skupiny Q [4] ukazuje toto:

\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .

Můžete například vzít i = x , j = y a k = xy .

Středem a komutátorem grupy Q je podgrupa {±1}. Faktorová skupina Q /{±1} je izomorfní s Kleinovou čtyřkou V . Skupina vnitřních automorfismů grupy Q je isomorfní ke kvocientové grupě Q vzhledem ke středu, a proto je isomorfní i ke Kleinově čtyřgrupě. Skupina plného automorfismu skupiny Q je izomorfní k S 4 , symetrické skupině čtyř písmen. Vnější skupina automorfismu Q je S 4 / V , která je izomorfní k S 3 .

Maticová reprezentace

Kvaternionová skupina může být reprezentována jako podskupina úplné lineární skupiny GL2 ( C ) . Výkon

Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to {\mathrm {GL}}_{{2}}({\mathbf {C}})

je definována maticemi [5]

1\mapto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}

j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

k\mapto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}

Protože všechny výše uvedené matice mají jednotkové determinanty, definují reprezentaci grupy Q ve speciální lineární grupě SL 2 ( C ).

Je zde také důležité působení grupy Q na osm nenulových prvků dvourozměrného vektorového prostoru nad konečným polem F 3 . Výkon

Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to {\mathrm {GL}} (2,3)

určeno matricemi

1\mapto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}

j\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}

k\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

kde {−1,0,1} jsou tři prvky pole F 3 . Protože determinant všech matic nad polem F 3 je roven jedné, jedná se o reprezentaci grupy Q ve speciální lineární grupě SL(2, 3). Navíc skupina SL(2, 3) má řád 24 a Q je normální podgrupa skupiny SL(2, 3) z indexu 3.

Skupina Galois

Jak ukázal Richard Dean v roce 1981, kvaternionová grupa může být dána jako Galoisova grupa Gal ( T / Q ), kde Q je pole racionálního čísla a T je pole rozkladu polynomu .

x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36

přes Q. _

Důkaz používá základní větu Galoisovy teorie , stejně jako dvě věty o cyklických rozšířeních stupně 4. [6]

Generalizovaná kvaternionová skupina

Skupina se nazývá zobecněná kvaternionová skupina (nebo dicyklická skupina ), pokud má úkol [4]

\langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1} \rangle .

pro nějaké celé číslo n ≥ 2. Tato skupina je označena Q 4 n a má řád 4 n . [7] Coxeter označil tyto dicyklické skupiny jako <2,2,n>, přičemž je považoval za zvláštní případ binární polyedrické skupiny <l,m,n> spojené s polyedrickými skupinami (p, q,r) a dihedrální skupina (2,2,n). Obyčejná kvaternionová grupa odpovídá případu n = 2. Zobecněná kvaternionová grupa je izomorfní k podgrupě GL 2 ( C ) generované prvky

\left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&\overline {\omega }_{n}\end{array}}\right)

\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)

kde ω n = e iπ/ n [4] . Je také izomorfní ke skupině vytvořené [8] čtveřicemi x = e iπ/ n a y = j.

Brouwer-Suzukiho teorém říká, že grupy, pro které jsou Sylow 2-podgrupy zobecněné kvaterniony, nemohou být jednoduché.

Viz také

Poznámky

↑ Podívejte se také na tabulku Archivováno 28. dubna 2018 na Wayback Machine na webu Wolfram Alpha
↑ Viz Hall (1999), str. 190 Archivováno 6. srpna 2021 na Wayback Machine
↑ Kurosh A.G. Teorie skupin. - M .: Nauka, 1967. - S. 57.
↑ 1 2 3 Johnson, 1980 , str. 44-45.
↑ Artin, 1991 .
↑ Děkan, Richard (1981). „Racionální polynom, jehož skupina je čtveřice“. The American Mathematical Monthly 88(1): 42–45. .
↑ Někteří autoři (např. Rotman, 1995 , s. 87, 351) nazývají tuto skupinu dicyklickou grupou , přičemž název zobecněná kvaternionová grupa ponechávají pro případ, kdy n je mocninou dvou.
↑ Brown, 1982 , str. 98.

Literatura

Michael Artin. Algebra. - Prentice Hall, 1991. - ISBN 978-0-13-004763-2 .
Kenneth S. Brown. Kohomologie skupin. - Springer-Verlag, 1982. - ISBN 978-0-387-90688-1 .
Henri Cartan, Samuel Eilenberg. Homologická algebra . - Princeton University Press, 1999. - ISBN 978-0-691-04991-5 .
Richard A. Dean. Racionální polynom, jehož grupou jsou čtveřice // American Mathematical Monthly . - 1981. - S. 88:42–5 .
D. Gorenstein. Konečné skupiny. - New York: Chelsea, 1980. - ISBN 978-0-8284-0301-6 .
David L Johnson Témata z teorie skupinových prezentací. - Cambridge University Press , 1980. - ISBN 978-0-521-23108-4 .
Josef J. Rotman. Úvod do teorie grup. - 4. - Springer-Verlag, 1995. - ISBN 978-0-387-94285-8 .
P. R. Girard. Skupina kvaternionů a moderní fyzika // European Journal of Physics. - 1984. - S. 5:25–32 .
Marshall Hall. Teorie skupin. - 2. - Knihkupectví AMS, 1999. - ISBN 0-8218-1967-4 .
Alexander G. Kurosh. Teorie grup. - Knihkupectví AMS, 1979. - ISBN 0-8284-0107-1 .

Externí odkazy

Weisstein, Eric W. Quaternion group (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .