Centrum skupiny

Střed grupy v teorii grup je množina všech takových prvků dané grupy , které komutují se všemi jejími prvky:

Z(G) = \{z \in G \mid \forall g\in G, zg = gz \}

[1] ).

Skupina je abelovská právě tehdy, když se její střed s ní shoduje: ; v tomto smyslu lze střed skupiny považovat za míru její „abelovské“ (komutativnosti). O skupině se říká, že nemá střed , pokud je střed skupiny triviální, to znamená, že se skládá pouze z neutrálního prvku . $G$ $Z(G) = G$

Středové prvky jsou někdy označovány jako skupinové středové prvky .

Vlastnosti podskupiny

Střed skupiny je vždy její podskupina: vždy obsahuje neutrální prvek (protože podle definice komutuje s jakýmkoli prvkem skupiny), je uzavřený vzhledem ke skupinové operaci a spolu s příchozími prvky obsahuje jejich inverze . .

Střed G je vždy normální podskupina G , protože je uzavřený pod konjugací . Střed skupiny je navíc charakteristickou podskupinou , ale zároveň není zcela charakteristickou podskupinou .

Faktorová grupa je izomorfní ke skupině vnitřních automorfismů grupy . $G/Z(G)$ $G$

Konjugační třídy a centralizátory

Podle definice je střed skupiny množinou prvků, pro které je třída konjugace každého prvku prvkem samotným.

Střed je také průsečíkem všech centralizátorů všech prvků skupiny G .

Sousedství

Jádro mapování , které spojuje prvek skupiny s automorfismem daným vzorcem: $f: G \to \operatorname{Aut}(G)$ $G$

\phi_g(h) = ghg^{-1}

je přesně střed grupy G a obraz zobrazení f se nazývá vnitřní automorfismus grupy G , který se značí ; podle první věty o izomorfismu máme : $\operatorname{Inn}(G)$

G/Z(G)\cong \rm{Inn}(G)

Cokernel f je skupina vnějších automorfismů ; takže existuje přesná sekvence : $\operatorname{Out}(G)$

1 \to Z(G) \to G \to \operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G) \to 1

Příklady

Střed abelovské skupiny G je G .
Středem Heisenbergovy grupy G jsou matice ve tvaru:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & z\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}

Střed neabelovské jednoduché skupiny je triviální.
Střed dihedrální grupy D n je triviální pro liché n . Pokud je n sudé, střed se skládá z neutrálního prvku a otočení mnohoúhelníku o 180° .
Střed kvaternionové skupiny je . $Q_8 = \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}$ $\{jedenáct\}$
Střed symetrické grupy Sn je triviální pro n ≥ 3 .
Střed alternující skupiny An je triviální pro n ≥ 4 .
Střed plné lineární skupiny je soubor skalárních matic . $\mbox{GL}_n(F)$ $\{ sI_n | s \in F\setminus\{0\} \}$
Střed ortogonální skupiny je . $O(n, F)$ $\{ I_n,-I_n \}$
Střed multiplikativní grupy nenulových čtveřic je multiplikativní grupa nenulových reálných čísel.
Pomocí třídní rovnice lze dokázat, že střed libovolné netriviální konečné p-grupy je netriviální.
Pokud je skupina faktorů cyklická , G je abelovský (takže G = Z(G) a je triviální). $G/Z(G)$ $G/Z(G)$
Skupina kvocientu není izomorfní ke skupině čtveřice . $G/Z(G)$ $Q_8$

Středové řady

Faktorizace podle středů skupin generuje posloupnost skupin, která se nazývá horní centrální řádek :

G_0 = G \to G_1 = G_0/Z(G_0) \to G_2 = G_1/Z(G_1) \to \cdots

Jádrem mapování je i -té centrum skupiny G ( druhé centrum , třetí centrum atd.) a jsou označeny . Konkrétně --tý střed jsou prvky, které komutují se všemi prvky i -tého středu. V tomto případě je možné definovat nulový střed skupiny jako podgrupu jednoty. Horní střední řadu lze rozšířit na transfinitní čísla pomocí transfinitní indukce . Spojení všech středů řady se nazývá hypercentrum [2] . $G \to G_i$ $Z^i(G)$ $(i+1)$

Zvyšující se posloupnost podskupin:

1 \leq Z(G) \leq Z^2(G) \leq \cdots

se ustálí na (což znamená ) právě tehdy, když , nemá střed. $i$ $Z^i(G) = Z^{i+1}(G)$ $G_{i}$

Příklady

Pro skupinu bez středu jsou všechny středy řady nulové, což se stává v případě . $Z^0(G)=Z^1(G)$
Podle Grünova lemmatu nemá kvocientová grupa grupy shodující se s její odvozenou podgrupou střed ve svém středu, protože všechna centra vyššího řádu jsou rovna středu. Toto je případ stabilizace . $Z^1(G)=Z^2(G)$

Viz také

Střed (algebra)
Norma (teorie grup)

Poznámky

↑ Označení Z pochází od něj. Zentrum
↑ Toto spojení zahrnuje transfinitní prvky, pokud se množina horních středů nestabilizuje v konečném počtu iterací.

Odkazy

Michiel Hazewinkel. Centrum skupiny, Encyklopedie matematiky. - Springer, 2011. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
I. M. Vinogradov. Centrum // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1977-1985. (Ruština)
Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Kapitola II. Skupiny // Obecná algebra / Pod obecným. vyd. L. A. Skornyaková . - M .: Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 s. — (Referenční matematická knihovna). — 30 000 výtisků. — ISBN 5-02-014426-6 .