Koncová skupina

Konečná grupa v obecné algebře je grupa obsahující konečný počet prvků (toto číslo se nazývá její „ řád “) [1] . Dále se předpokládá, že skupina je multiplikativní , to znamená, že operace v ní je označena jako násobení; skupiny aditiv s operací sčítání jsou specifikovány samostatně. Jednotka multiplikativní grupy bude označena symbolem 1. Pořadí grupy se obvykle značí $G$ $|G|.$

Konečné grupy jsou široce používány jak v matematice, tak v jiných vědách: kryptografie , krystalografie , atomová fyzika , teorie ozdob atd. Konečné transformační grupy úzce souvisí se symetrií studovaných objektů.

Příklady

Aditivní skupina tříd zbytků modulo . $\mathbb{Z}_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$
Multiplikativní grupa tých odmocnin jednoty $n$ izomorfní s předchozí grupou.
Redukovaný systém reziduí modulo : jehož řád je ( Eulerova funkce ). $m$ $\mathbb {Z} _{m}^{\times }=U(\mathbb {Z} _{m}),$ $\varphi(m)$
Nekomutativní skupina 8 jednotek kvaternionů : viz skupina kvaternionů . $Q_{8}=\left\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\right\};$
Symetrická grupa (skupina substitucí nebo permutací prvků) . Jeho řád je roven a je nekomutativní. $n$ $S_{n}$ $n$ $n>2$
Kleinova čtyřčlenná skupina . $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2=D_{2}$
Galoisova grupa konečného rozšíření pole a řád grupy se rovná stupni rozšíření . Například pro rozšíření pole reálných čísel na pole všech komplexních čísel obsahuje skupina Galois 2 prvky: jednotku ( mapu identity ) a komplexní konjugaci .

Vlastnosti a související definice

Cayleyova věta: násobilka prvků konečné grupy tvoří latinský čtverec [2] .

Řád prvku g konečné grupy G je definován jako minimální přirozené číslo m takové, že . Pořadí je definováno pro každý prvek konečné grupy. $g^{m}=1$

Lagrangeův teorém : Řád libovolné podgrupy konečné grupy je dělitelem řádu grupy.

Důsledek 1: řád libovolného prvku konečné grupy je dělitelem řádu grupy.
Důsledek 2: jakýkoli prvek g konečné grupy řádu n splňuje vztah: V teorii čísel pro redukovaný systém zbytků dává tento vzorec důležitou Eulerovu větu . $g^{n}=1.$
Důsledek 3: prvek g konečné grupy splňuje vztah: právě tehdy, když je číslo násobkem řádu $g^{m}=1$ $m$ $g.$
Důsledek 4: Nechť řád prvku g konečné grupy je Dvě mocniny tohoto prvku jsou stejné: právě tehdy, když jsou exponenty shodné modulo $m$ ${\displaystyle g^{i}=g^{k))$ $m:$

i\equiv k{\pmod {m))

Podíl dělení řádu skupiny řádem její podskupiny se nazývá index této podskupiny a značí se . Například ve výše uvedené skupině kvaternionových jednotek (řádu 8) existuje podskupina řádu 2 a indexu 4 a také podskupina řádu 4 a indexu 2. $G$ $H$ $G:H$ $\{1;-1\}$ $\{1;-1;i;-i\}$

Cauchyho věta (1815): Každá grupa, jejíž řád je dělitelný prvočíslem , má prvek řádu . $p$ $p$

Jestliže každému děliteli řádu grupy odpovídá podgrupa řádu , pak se grupa nazývá Lagrangián . Ne každá grupa je lagrangeovská - například řád rotace dvanáctistěnu je 60, ale nemá žádné podgrupy řádu 15 [3] . Dostatečné podmínky pro existenci podgrupy daného řádu (za některých dalších předpokladů) zakládají Sylowovy věty . Příklad Lagrangian skupiny je symetrická skupina . $k$ $k$ $S_4$

Kosety a kvocientová skupina

Nechť H je podgrupa řádu m v konečné grupě G řádu n . Prvky považujeme za ekvivalentní vzhledem k podgrupě H , pokud existuje taková, že lze snadno ověřit, že se jedná o relaci ekvivalence ve skupině G . Rozdělí skupinu na nepřekrývající se třídy ekvivalence, nazývané (levé) cosety , z nichž všechny obsahují m prvků, přičemž počet tříd se rovná indexu podskupiny. Každý prvek patří do množiny tvořené všemi možnými součiny g a prvky podskupiny H . $g,g'\v G$ $h\v H$ $g=g'h.$ $g\in G$ ${\bar {g}}=gH$

Pokud je podskupina H normálním dělitelem , lze operaci skupiny přenést na množinu coset definováním:

(g_{1}H)(g_{2}H)=(g_{1}g_{2})H

Výsledek takové operace nezávisí na volbě zástupců a promění množinu coset na skupinu nazývanou faktorová skupina . Je označeno . Pořadí skupiny faktorů se rovná indexu odpovídající podskupiny. $g_{1}g_{2}$ $G/H$

Klasifikace

Počet odlišných skupin daného řádu

objednat	počet skupin [4]	komutativní	nekomutativní
0	0	0	0
jeden	jeden	jeden	0
2	jeden	jeden	0
3	jeden	jeden	0
čtyři	2	2	0
5	jeden	jeden	0
6	2	jeden	jeden
7	jeden	jeden	0
osm	5	3	2
9	2	2	0
deset	2	jeden	jeden
jedenáct	jeden	jeden	0
12	5	2	3
13	jeden	jeden	0
čtrnáct	2	jeden	jeden
patnáct	jeden	jeden	0
16	čtrnáct	5	9
17	jeden	jeden	0
osmnáct	5	2	3
19	jeden	jeden	0
dvacet	5	2	3
21	2	jeden	jeden
22	2	jeden	jeden
23	jeden	jeden	0
24	patnáct	3	12
25	2	2	0
26	2	jeden	jeden
27	5	3	2
28	čtyři	2	2
29	jeden	jeden	0
třicet	čtyři	jeden	3

Konečné cyklické grupy

Nejjednodušší strukturu mají konečné cyklické grupy , jejichž všechny prvky lze reprezentovat jako postupné mocniny nějakého pevného prvku $A:$

1,a,a^{2},a^{3}\tečky a^{{n-1}}\

( n je pořadí skupiny).

Prvek a se pro danou skupinu nazývá generátor (nebo primitivní ) a samotná vygenerovaná skupina je označena $A,$ $\langle a\rangle .$

Jako generující prvek pro grupu může působit nejen prvek, ale i jeho stupně , jejichž exponent je shodný s řádem grupy. Počet takových generátorů pro skupinu řádu n je ( Eulerova funkce ). Příklad: skupina kořenů z jednoty . $\langle a\rangle$ $A,$ $a^{k},$ $k$ $\varphi (n)$

Jakákoli skupina konečného cyklického řádu je izomorfní k aditivní skupině zbytku třídy . Tato třída izomorfních skupin je obvykle označena . Z toho plyne, $n$ $\mathbb {Z} _{n}$ $C_{n}$

až do izomorfismu existuje pouze jedna konečná cyklická grupa daného řádu.
cyklické skupiny jsou vždy komutativní ( Abelian ) a Lagrangian.
cyklická skupina má netriviální podskupiny právě tehdy, když je její pořadí složené číslo .
jakákoli podskupina cyklické skupiny je také cyklická. Jakákoli kvocientová skupina cyklické skupiny G/H bude také cyklická . Počet odlišných podskupin skupiny cyklického řádu se rovná počtu (kladných) dělitelů čísla $n$ $n.$

Mocniny libovolného prvku libovolné konečné grupy tvoří generovanou cyklickou podgrupu (pro jednotku to bude triviální podgrupa sestávající pouze z jednotky samotné). Tato podskupina je obsažena v jakékoli jiné podskupině obsahující prvek . Pořadí se rovná pořadí generujícího prvku Důsledek: skupina objednávek je cyklická právě tehdy, pokud obsahuje prvek stejného řádu $A$ $G$ $H$ $A$ $G,$ $A.$ $H$ $A.$ $n$ $n.$

Všechny grupy, jejichž řád je menší než 4, jsou cyklické, takže pro ně neexistují dvě neizomorfní grupy stejného řádu. Skupina řádu 1 ( triviální skupina ) obsahuje pouze identitu. Skupina řádu 2 se skládá z prvků (a ); v planimetrii je to např. skupina transformací od jednoty (identická transformace) a zrcadlového odrazu vzhledem k pevné přímce. Skupina řádu 3 obsahuje prvky ${\displaystyle \{1,a\))$ $a^{2}=1$ $\{1,a,a^{2}\}.$

Ne každá komutativní konečná grupa je cyklická. Nejjednodušší protipříklad: Kleinova čtyřčlenná skupina .

Skupiny s prvočíslem (p-skupiny)

Nechť je pořadí skupin prvočíslo p , pak platí následující vlastnosti.

Skupina je cyklická .
Skupina je komutativní ( abelovská ) a nilpotentní .
Všechny skupiny stejného řádu p jsou navzájem izomorfní.

Obecnější a složitější je případ, kdy je pořadí grupy mocninou prvočísla; takové skupiny se běžně nazývají p-skupiny .

Jednoduché skupiny

Konečná grupa se nazývá jednoduchá, pokud jsou všechny její normální podgrupy triviální (to znamená, že se shodují buď s identitní podgrupou, nebo s celou grupou) [5] . Viz jejich obecná klasifikace .

Komutativní (abelovské) grupy

Hlavní věta ( Frobenius ): Každá komutativní konečná grupa může být reprezentována jako přímý součet p-grup . Je to důsledek obecné věty o struktuře konečně generovaných abelovských grup pro případ, kdy grupa nemá prvky nekonečného řádu.

Historie

První studie o konečných grupách se objevily dlouho před objevením tohoto termínu a týkaly se konkrétních zástupců této struktury. Poprvé taková potřeba vyvstala při studiu algebraických rovnic pro řešitelnost v radikálech , pro které Larrange , Ruffini a Abel hluboce studovali permutační grupy polynomiálních kořenů . V roce 1771 objevil Lagrange větu o cyklických permutačních grupách , která je po něm pojmenována a má zcela obecný charakter. Abel významně doplnil úspěchy Lagrange, a protože objasnil roli komutativních permutačních skupin v tomto problému, byly takové skupiny od té doby nazývány abelskými. Cauchy v roce 1815 dokázal , že každá skupina, jejíž řád je dělitelný prvočíslem p, má prvek řádu p. Důkaz byl obecné povahy, ačkoli Cauchy se také omezil na permutační skupinu.

Druhým objektem budoucí teorie byly skupiny aditivních zbytků . Nejjednodušší netriviální skupinu dvou prvků uvažoval Leibniz a smysluplnou teorii této struktury pro libovolný modul předložili Euler a Gauss .

Termín „skupina“ se poprvé objevil v dílech Galoise , který také studoval permutační skupiny, ale definice byla uvedena v poměrně obecné formě. Galois také představil základní pojmy normální podgrupy , kvocientové grupy a řešitelné grupy .

V roce 1854 Cayley poskytl první abstraktní definici skupiny. V článku z roku 1878 dokázal klíčovou větu o reprezentaci libovolné konečné grupy permutacemi. V roce 1872 získal norský matematik Sylow své slavné výsledky o maximálních p-podgrupách, které dodnes zůstávají základem teorie konečných grup.

Významný příspěvek k teorii abstraktních konečných grup měl také Frobenius , díky kterému byly konečné abelovské grupy kompletně popsány a vznikla teorie jejich maticových reprezentací. Koncem 19. století byly konečné grupy úspěšně aplikovány jak v matematice, tak v přírodních vědách (např. v krystalografii ). Na počátku 20. století položily práce Emmy Noether a Artina základy moderní teorie grup.

Viz také

Literatura

Vechtomov E. M. O lagrangeovských skupinách. §jeden. Z dějin teorie grup // Problémy historického a vědeckého bádání v matematice a matematickém vzdělávání: Sborník příspěvků z mezinárodní vědecké konference. - Perm: Stát Perm. Vysoká škola pedagogická, 2007. - S. 23-32 . .
Kurz algebry Vinberg E. B. - 3. vyd. - M. : Factorial Press, 2002. - 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 . .
Gorenstein D. Konečné jednoduché grupy. Úvod do jejich klasifikace. — M .: Mir, 1985.
Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . — M .: Sovětská encyklopedie , 1982.
Navarro, Joaquin. Přes zrcadlo. Symetrie v matematice. — M .: De Agostini, 2014. — 160 s. — (Svět matematiky: ve 45 svazcích, svazek 17). - ISBN 978-5-9774-0712-0 .
Hala M. Teorie grup. M. : Nakladatelství zahraniční literatury, 1962.

Odkazy

Finite Group ve společnosti Wolfram Math World. (Angličtina)

Poznámky

↑ Mathematical Encyclopedia, 1982 , Volume 2. Konečná grupa.
↑ Malykh A. E. O Kirkmanově problému a jeho vývoji ve druhé polovině 19. - počátkem 20. století // Problémy historického a vědeckého výzkumu v matematice a matematickém vzdělávání: Sborník z mezinárodní vědecké konference, Perm, září 2007 .. - Perm : Stát Perm. Ped. Univerzita, 2007. - S. 84. .
↑ Stuart, Jan. Pojmy moderní matematiky. - Minsk: Vyšší škola, 1980. - S. 133-134. — 384 s.
↑ Humphreys, John F. Kurz teorie grup . - Oxford University Press , 1996. - S. 238-242 . — ISBN 0198534590 .
↑ Mathematical Encyclopedia, 1982 , Volume 4. Jednoduchá skupina.

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Britannica (online) Universalis
V bibliografických katalozích	BNF : 11969510z J9U : 987007531228305171 LCCN : sh85048354 NDL : 00574433

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Kleinová čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko skupiny J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace