Skupina Galois

Skupina Galois je skupina přidružená k rozšíření pole . Hraje důležitou roli ve studiu rozšíření pole , zejména v Galoisově teorii . Tento koncept (v kontextu permutační grupy kořenů polynomu ) zavedl do matematiky Evariste Galois v roce 1832.

Definice

Nechť pole K je Galoisovým rozšířením pole P . Jednotné zobrazení pole K na sebe samé se nazývá automorfismus , pokud zobrazuje součet na součet a součin na součin, to znamená, pokud pro některé prvky pole K platí rovnosti. $F$ $a,b$

f(a+b)=f(a)+f(b),\ f(ab)=f(a)\cdot f(b).

Galoisova skupina pro dané rozšíření pole je sbírkou všech automorfismů pole K , které zachovávají prvky pole P :. Obvykle se označuje jako G ( K , P ) nebo Gal ( K , P ). $\forall a\in P\;f(a)=a$

Vlastnosti

Galoisova grupa konečného rozšíření je konečná . Jeho řád (počet prvků) je roven stupni expanze [ K : P ].

Příklady

Pokud se rozšířené pole shoduje s původním, pak Galoisova skupina obsahuje pouze jeden prvek: jednotku (automorfismus identity).
Pro rozšíření oboru reálných čísel na pole všech komplexních čísel obsahuje Galoisova skupina 2 prvky: jednotku a komplexní konjugaci .
Pole rozšíření se skládá z čísel ve tvaru , kde a , b jsou racionální čísla . Skupina Galois zde obsahuje 2 prvky: jednotku a operaci, která mění znaménko 2. členu pomocí . ${\mathbb {Q}}[{\sqrt {2}}]$ $a+b{\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$
Nechť p je prvočíslo . Uvažujme konečná pole a , z nichž první je přirozeně vloženo do druhého. Galoisova grupa tohoto rozšíření je cyklická , je generována Frobeniovým automorfismem . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{p))$
Galoisova grupa algebraické rovnice [1] .

Uvažujme algebraickou rovnici čtvrtého stupně . Umožňuje následující transformace proměnné x : . Pro následuje , to je . Z toho tedy vyplývá, že . To znamená, že rovnici lze transformovat .

P(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0

y=1/x,\ y=x^{2},\ y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

y=1/x

y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)/x ^{4}

{\displaystyle P(y)=P(x)/x^{4))

P(x)=0

P(y)=0

P(x)=0

y=1/x

Neboť se ukazuje . Vydělením této rovnice původní dostaneme . Transformaci tedy umožňuje i rovnice .

y = x^2

P(y)=y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^ {2}+1

P(x)

P(y)=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)P(x)

y = x^2

P(x)

Podobně pro transformaci lze získat následující transformační vzorec: .

y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

P(y)=(x^{8}+3x^{7}+6x^{6}+9x^{5}+9x^{4}+7x^{3}+4x^{2} +x+1)P(x)

Nyní dokažme, že rovnice připouští nekonečnou skupinu transformací , kde nabývá všech celočíselných (kladných i záporných) hodnot, které nejsou násobky pěti. Nejprve se podívejme na substituci . Z této rovnosti vyplývá, že , ..., . Abychom dokázali, že rovnice připouští nekonečnou skupinu transformací pro , stačí ukázat, že transformace je povolena . Pro tuto transformaci máme: . Záporné celočíselné hodnoty se získají použitím transformace . Je snadné dokázat, že výsledné transformace tvoří skupinu.

P(x)

{\displaystyle y=x^{n))

n

x^{4}=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

x^{5}=x\cdot x^{4}=-(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x)=1,\ x^{6}= x\cdot x^{5}=x

{\displaystyle x^{n}=x^{n-5))

P(x)

{\displaystyle y=x^{n))

5\!\ \nmid n

y=x^{3}

P(y)=x^{12}+x^{9}+x^{6}+x^{3}+1=x^{2}+x^{4}+x+x^ {3}+1=0

n

y=1/x

Vytvořená skupina transformací transformuje každý kořen rovnice na kořen stejné rovnice. Podívejme se nyní, jak přesně je každý kořen rovnice transformován pod vlivem této skupiny transformací. Z kurzu algebry je známo, že kořeny rovnice jsou čísla . Transformace překládá kořen na , kořen na , kořen na , kořen na . Výsledná substituce je označena . Podobným způsobem lze ukázat, že transformace vede k substituci . Výsledkem transformace je substituce . Zbývající transformace nedávají nové substituce.

{\displaystyle y=x^{n))

P(x)

P(x)

P(x)

x_{1}=z,\ x_{2}=z^{2},\ x_{3}=z^{3},\ x_{4}=z^{4},\ z=e ^{2\pi i/5}

y = x^2

x_{1}

x_{2}

x_{2}

x_{4}

x_{3}

x_{1}

x_{4}

x_{3}

(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3})

y=x^{3}

(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2})

y=x^{-1}

(x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})

Skupina transformací kořenů rovnice tedy indukuje konečnou grupu řádu čtyři, sestávající z následujících prvků: . Tato konečná grupa se nazývá Galoisova grupa rovnice .

{\displaystyle y=x^{n))

P(x)

1,(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3}),(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2}),( x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})

P(x)

Nechť je pole dělení kruhu stupně n . Galoisova skupina kruhového rozšíření je izomorfní k multiplikativní skupině reziduálního kruhu modulo n . $K_n$ $K_{n}/Q$ $Z_{n}^{*}$

Aplikace

Rozšíření pole

Uvažujme řetězec postupných rozšíření pole: Sestrojte Galoisovu grupu pro pole, která jsou v řetězci extrémní: Podle hlavní věty Galoisovy teorie každé mezilehlé pole v řetězci rozšíření odpovídá podgrupě grupy G , tj. řetězec rozšíření pole může být spojen s řetězcem vnořených podskupin, který se zužuje z G na triviální podskupiny . Uvažujeme-li všechna mezilehlá pole najednou (tj. pole tvaru ), je tato korespondence bijekcí z množiny mezilehlých polí do množiny podgrup Galoisovy grupy. Navíc podskupiny odpovídající normálním rozšířením jsou normálními podskupinami G a naopak. $L_{1}\podmnožina L_{2}\podmnožina \cdots \podmnožina L_{n}.$ $G=\operatorname {Gal} (L_{n},L_{1}).$ $L_{k}$ $G_{k}$ $L_{1}\podmnožina X\podmnožina L_{n}$

Tato korespondence nám umožňuje studovat konečná rozšíření polí pomocí teorie grup. Například z toho okamžitě vyplývá, že počet mezilehlých polí pro dané normální rozšíření je vždy konečný (jako počet podgrup v konečné skupině).

Algebraické rovnice

Hlavním oborem algebraické rovnice je množina čísel, která lze získat z koeficientů této rovnice pomocí operací sčítání , odčítání , násobení a dělení . Rozkladné pole je množina čísel, která lze získat pomocí konečného počtu stejných operací na základě koeficientů a kořenů rovnice. Hlavní pole je v obecném případě pouze podpolí pole rozkladu.

Galoisovu grupu vytvořenou automorfismy pole rozkladu je obvyklé nazývat Galoisovou grupou této rovnice . Jakýkoli automorfismus z Galoisovy grupy G ( K , P ) mapuje každý kořen libovolného polynomu přes pole P zpět na kořen stejného polynomu. Galoisovu grupu jakékoli algebraické rovnice, která nemá více kořenů , lze tedy považovat za permutační grupu (tak to považoval sám Evarist Galois ).

Poznámky

↑ N. Kh. Ibragimov. Krátká odbočka ke skupině Galois // ABC skupinové analýzy. - M . : Vědomosti, 1989. - S. 42.

Literatura

Teorie Artina E. Galoise. - M. : MTSNMO, 2008. - ISBN 978-5-94057-062-2 .
Postnikov M. M. Galoisova teorie. — M .: Nauka, 1963. — 220 s.