Automorfismus

Automorfismus je izomorfismus mezi matematickým objektem a sebou samým; mapování, které změní objekt při zachování všech jeho původních vlastností. Soubor všech automorfismů objektu tvoří skupinu automorfismu , kterou lze chápat jako zobecnění skupiny symetrie objektu .

Přesná definice automorfismu závisí na typu matematického objektu a kontextu. V univerzální algebře je automorfismus definován jako bijektivní homomorfismus algebraického systému na sebe. Mapování identity se někdy nazývá triviální automorfismus ; podle toho jsou neidentické automorfismy považovány za netriviální .

Automorfismus v teorii kategorií je definován jako endomorfismus , což je také izomorfismus .

Pokud automorfismy objektu v kategorii tvoří množinu , pak tvoří grupu s ohledem na operaci skládání morfismů - skupinu automorfismu (nebo jednoduše , pokud je kategorie z kontextu jasná). $X$ $C$ $\operatorname {Aut} _{C}(X)$ $\operatorname {Aut} (X)$

Prvním známým popsaným skupinovým automorfismem je automorfismus druhého řádu v icosian , objevený Hamiltonem v roce 1856 [1] .

Příklady

V teorii množin je libovolná permutace prvků množiny automorfismus. Skupina automorfismu se také nazývá symetrická skupina na . $X$ $X$ $X$

Množina celých čísel , považovaných za grupu sčítáním, má jediný netriviální automorfismus: znaménko opaku. Nicméně, považován za prsten , má pouze triviální automorfismus. Obecně řečeno, brát opak je automorfismus pro jakoukoli abelovskou skupinu , ale ne pro prstenec nebo pole. $\mathbb {Z}$

Skupinový automorfismus je skupinový izomorfismus skupiny na sebe; „permutace“ prvků skupiny, ve které struktura zůstává nezměněna. Pro každou skupinu existuje přirozený grupový homomorfismus , jehož obrazem je grupa vnitřních automorfismů a jehož jádro je středem grupy . Má -li tedy grupa a triviální střed, může být zasazena do vlastní grupy automorfismu [2] . $G$ $G\to \operatorname {Aut} (G)$ $\operatorname{Inn}(G)$ $G$ $G$

V lineární algebře je endomorfismus vektorového prostoru lineární operátor . V tomto kontextu je automorfismus reverzibilní lineární operátor na . Když je vektorový prostor konečnorozměrný, skupina automorfismu je stejná jako obecná lineární grupa . (Algebraická struktura sestávající ze všech endomorfismů , je sama o sobě algebrou ve stejném poli jako , jejíž invertibilní prvky se skládají přesně z .) $PROTI$ $V\to V$ $PROTI$ $PROTI$ $\operatorname {GL} (V)$ $PROTI$ $PROTI$ $\operatorname {GL} (V)$

Automorfismus pole je bijektivní kruhový homomorfismus pole do sebe. V případě racionálních čísel a reálných čísel neexistují žádné netriviální automorfismy těchto polí. Některá podpole mají netriviální automorfismy, které se však netýkají všeho (například proto, že tyto automorfismy nezachovávají vlastnost čísla mít odmocninu v ). V případě komplexních čísel existuje jediný netriviální automorfismus, který se překládá do : komplexní konjugace , ale existuje nekonečná ( nespočetná ) množina „divokých“ automorfismů (za předpokladu axiomu výběru ) [3] [4] . Automorfismy pole jsou důležité pro teorii rozšíření pole , zvláště Galois rozšíření . V případě Galoisova rozšíření se podskupina všech automorfismů , které fixují bodově, nazývá Galoisova grupa rozšíření. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $L/K$ $L$ $K$

Automorfní skupina kvaternionů ( ) jako kruhy jsou vnitřní automorfismy podle Skolem-Noetherovy věty : zobrazení formy [5] . Tato skupina je izomorfní ke skupině rotací v trojrozměrném prostoru. $H$ $a\to bab^{-1}$ $\operatorname {SO} (3)$

Skupina automorfismu oktonionů ( ) je výjimečná Lieova grupa G2 . $Ó$

Důležitou roli v teorii řádů hraje řádový automorfismus , automorfismus částečně uspořádaných množin, který zachovává řádový vztah.

V teorii grafů je automorfismus grafu permutace uzlů, která zachovává hrany a nehrany. Zejména pokud jsou dva uzly spojeny hranou, pak jsou jejich zobrazení po použití automorfismu také spojena hranou. V tomto případě automorfismus funguje jako přečíslování nebo permutace vrcholů grafu.

V geometrii se automorfismus nazývá pohyb prostoru. Používá se také specializovaná terminologie: v kategorii Riemannových ploch je automorfismus biholomorfní zobrazení (také nazývané konformní zobrazení ) z povrchu na sebe. Například automorfismy Riemannovy koule jsou Möbiovy transformace . Automorfismus diferencovatelné variety je difeomorfismus ze sebe. Skupina automorfismu je někdy označována . $M$ $M$ $\operatorname {Diff} (M)$

V topologii se morfismy mezi topologickými prostory nazývají spojitá zobrazení a automorfismus topologického prostoru je homeomorfismus prostoru do sebe. Toto je příklad toho, že ne vždy stačí, aby byl morfismus bijektivní, aby to byl izomorfismus.

Vnitřní a vnější automorfismy

V některých algebraických systémech, včetně skupin , prstenů a Lieových algeber , lze automorfismy rozdělit na dva typy - vnitřní a vnější.

V případě grup jsou vnitřní automorfismy konjugacemi pomocí prvků samotné grupy. Pro každý prvek skupiny je konjugace s operací definovaná jako (nebo ; závisí na zdroji). Je snadné zkontrolovat, že konjugace s je skupinový automorfismus. Vnitřní automorfismy tvoří normální podskupinu grupy , označovanou ; to popisuje Goursatovo lemma . $A$ $G$ $A$ $\phi _{a}:G\to G$ ${\displaystyle \phi _{a}(g)=aga^{-1))$ $a^{-1}ga$ $A$ $\operatorname {Aut} (G)$ $\operatorname{Inn}(G)$

Zbývající automorfismy se nazývají vnější automorfismy. Faktorová skupina se obvykle označuje ; netriviální prvky jsou množiny obsahující vnější automorfismy. $\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G)$ $\operatorname{Out}(G)$

Stejná definice dává smysl v jakémkoli kruhu s jednotkou nebo v poli , kde je jakýkoli prvek invertibilní . U Lieových algeber je definice mírně odlišná.

Literatura

↑ Sir William Rowan Hamilton (1856). „Memorandum respektující nový systém kořenů jednoty“ (PDF) . Filosofický časopis . 12 :446.
…takže je to nový pátý kořen jednoty, spojený s dřívějším pátým kořenem vztahy dokonalé reciprocity. $\mu$ $\lambda$
↑ PJ Pahl, R Damrath. §7.5.5 Automorfismy // Matematické základy výpočetního inženýrství . — překlad Felixe Pahla. - Springer, 2001. - S. 376 . — ISBN 3-540-67995-2 .
↑ Yale, Paul B. (květen 1966). „Automorfismy komplexních čísel“ (PDF) . Magazín o matematice . 39 (3): 135-141. DOI : 10.2307/2689301 . JSTOR 2689301 .
↑ Lounesto, Pertti. Cliffordovy algebry a spinory . — 2. - Cambridge University Press, 2001. - S. 22-23 . - ISBN 0-521-00551-5 .
↑ Handbook of Algebra , sv. 3, Elsevier , 2003, str. 453

Odkazy

Artamonov V.A. Kapitola VI. Univerzální algebry // Obecná algebra / Ed. vyd. L. A. Skornyaková . - M .: Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Referenční matematická knihovna). — 25 000 výtisků. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Systém algebraického automorfismu je článek z Encyklopedie matematiky . D. M. Smirnov
Plotkin BI Automorfismus grup algebraických systémů. — M .: Nauka , 1966. — 603 s. - 6000 výtisků.