Homeomorfismus

Homeomorfismus ( řecky ὅμοιος - podobný, μορφή - forma) je individuální a vzájemně spojité mapování topologických prostorů . Jinými slovy, je to bijekce , která spojuje topologické struktury dvou prostorů, protože v rámci kontinuity bijekce jsou obrazy a inverzní obrazy otevřených podmnožin otevřenými množinami, které určují topologie odpovídajících prostorů.

Prostory spojené homeomorfismem jsou topologicky nerozlišitelné. Můžeme říci, že topologie studuje vlastnosti objektů, které jsou při homeomorfismu neměnné.

V kategorii topologických prostorů jsou uvažována pouze spojitá zobrazení, takže v této kategorii je izomorfismus také homeomorfismus.

Definice

Dovolit a být dva topologické prostory . Funkce se nazývá homeomorfismus, pokud je jedna ku jedné a jak samotná funkce, tak její inverzní jsou spojité . $(X,\mathcal{T}_X)$ $(Y,\mathcal{T}_Y)$ $f:X \do Y$ $F$ $f^{-1}$

Související definice

Prostory v tomto případě jsou také nazývány homeomorphic , nebo topologically ekvivalentní . $X$ $Y$
- Tento vztah se obvykle označuje jako . $X\simeq Y$
Vlastnost prostoru se nazývá topologická, pokud je zachována pod homeomorfismy. Příklady topologických vlastností: všechny typy separability v topologických prostorech, spojitost a nespojitost , lineární spojitost , kompaktnost , jednoduchá spojitost , metrizovatelnost , jakož i lokální analogy uvedených vlastností (lokální spojitost, lokální lineární spojitost, lokální kompaktnost, lokální prostá spojitost , lokální metrizovatelnost), vlastnost být topologická varieta , konečná dimenzionalita, nekonečná dimenzionalita a dimenze topologických variet atd.
Místní homeomorphism prostorů je spojitá surjective mapa jestliže každý bod má sousedství takový že omezení k je homeomorphism mezi a jeho obrazem . $f:X\to Y$ $x\in X$ $U\ni x$ $F$ $U$ $f|_{U}:U\to f(U)$ $U$ $f(U)$
- Příklad. Mapování je lokální homeomorfismus mezi skutečnou linií a kružnicí . Tyto prostory však nejsou homeomorfní, například proto, že kruh je kompaktní, zatímco čára nikoli. $x\to (\cos x,\sin x)$ ${\mathbb {R} }$ $S^{1}$

Věta o homeomorfismu

Nechť je interval na číselné ose (otevřený, napůl otevřený nebo uzavřený). Nechť je bijekce. Pak je homeomorfismus právě tehdy, když je přísně monotónní a nepřetržitý $|a,b|\subset \mathbb{R}$ $f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\podmnožina \R$ $F$ $F$ $|a,b|.$

Příklad

Libovolný otevřený interval je homeomorfní celé číselné řadě . Homeomorfismus je dán např. vzorcem $(a,b) \subset \mathbb{R}$ $\mathbb {R}$ $f:(a,b) \to \mathbb{R}$

f(x) = \mathrm{ctg}\left(\pi\frac{xa}{ba}\right).

Interval je homeomorfní k segmentu v diskrétní topologii , ale ne homeomorfní ve standardní topologii číselné řady . $(0, \; 1)$ $[0, \; jeden]$

Viz také

Poznámky

Literatura

Zorich V. A. Matematická analýza. - M .: Nauka , 1984. - T. 2. - S. 41.
Vasiliev V. A. Úvod do topologie. - M. : FAZIS, 1997. - Vydání. 3. - xii + 132 s. - (Knihovna studenta-matematika). — ISBN 5-7036-0036-7 .
Timofeeva NV Diferenciální geometrie a prvky topologie . - YaGPU , 2007.
Boltyansky V.G. , Efremovič V.A. Vizuální topologie. — M .: Nauka, 1982. — 160 s.

Odkazy

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Homeomorphism , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4