Monotónní funkce

Monotónní funkce je funkcí jedné proměnné, definované na určité podmnožině reálných čísel, která buď všude neklesá (ve své definiční oblasti), nebo ne všude narůstá. Přesněji se jedná o funkci, jejíž inkrement at nemění znaménko, to znamená, že je buď vždy nezáporná, nebo vždy kladná [1] . Pokud se navíc přírůstek nerovná nule, pak se funkce nazývá přísně monotónní . $F$ $\Delta f=f(x')-f(x)$ $\Delta x=(x'-x)>0$ $\Delta f$

Funkce se nazývá rostoucí , jestliže větší hodnota argumentu odpovídá ne menší (jinou terminologií více) hodnotě funkce. Funkce se nazývá klesající , pokud větší hodnota argumentu neodpovídá žádné větší (jinou terminologií menší) hodnotě funkce.

Definice

Nechť je dána funkce Potom $f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} .$

funkce se nazývá rostoucí o if $F$ $M$

\forall x,y\v M,\;x>y\Šipka doprava f(x)\geq f(y)

funkce se nazývá striktně rostoucí na if $F$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Šipka doprava f(x)>f(y)

funkce se nazývá klesající o if $F$ $M$

\forall x,y\v M,\;x>y\Šipka doprava f(x)\leq f(y)

funkce se nazývá striktně klesající na if $F$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Šipka doprava f(x)<f(y)

O (striktně) rostoucí nebo klesající funkci se říká, že je (striktně) monotónní.

Další terminologie

Někdy termíny rostoucí ( klesající ) funkce znamenají striktně rostoucí (klesající) funkci. Pak se o nestriktně rostoucí (klesající) funkci říká, že je neklesající ( nerostoucí ) [2] :

Funkce se nazývá rostoucí na nějakém intervalu, jestliže pro libovolné dva body a tento interval, takový, že , . Jinými slovy, větší hodnota argumentu odpovídá větší hodnotě funkce. $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})<f(x_{2})$
Funkce se nazývá klesající na nějakém intervalu, jestliže pro libovolné dva body a tento interval, takový, že , . Jinými slovy, větší hodnota argumentu odpovídá menší hodnotě funkce. $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})>f(x_{2})$
Funkce se nazývá neklesající na nějakém intervalu, jestliže pro libovolné dva body a tento interval, takový, že , . $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})\leq f(x_{2})$
Funkce se nazývá nerostoucí na nějakém intervalu, pokud pro libovolné dva body a tento interval, například , . $f(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $f(x_{1})\geq f(x_{2})$
Rostoucí a klesající funkce se nazývají přísně monotónní , neklesající a nerostoucí funkce - monotónní .

Vlastnosti monotónních funkcí

Monotónní funkce definovaná na intervalu je měřitelná s ohledem na Borel sigma-algebry .
Monotónní funkce definovaná na uzavřeném intervalu je omezená . Zejména je integrovatelný Lebesgue . $f:[a,b]\to \mathbb{R} ,$
Monotónní funkce může mít pouze nespojitosti prvního druhu . Zejména množina bodů nespojitosti je nanejvýš spočetná .
Monotónní funkce je diferencovatelná téměř všude s ohledem na Lebesgueovu míru . $f:(a,b)\to \mathbb{R}$

Podmínky pro monotónnost funkce

(Kritérium pro monotónnost funkce, která má derivaci na intervalu) Nechť je funkce spojitá a má derivaci v každém bodě Pak $f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}$ $(a,b),$ $x\in(a,b)$ $f'(x).$ $F$ nesnižuje se tehdy a jen tehdy $(a,b)$ $\forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;$ $F$ nezvyšuje se tehdy a jen tehdy $(a,b)$ $\forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0.$
(Dostačující podmínka pro striktní monotónnost funkce, která má derivaci na intervalu) Nechť je funkce spojitá na a má derivaci v každém bodě Pak $f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}$ $(a,b),$ $x\in(a,b)$ $f'(x).$ pokud se pak přísně zvyšuje o $\forall x\in (a,b)\;f'(x)>0,$ $F$ $(a,b);$ pokud se pak striktně sníží o $\forall x\in (a,b)\;f'(x)<0,$ $F$ $(a,b).$

Opak obecně neplatí. Derivace přísně monotónní funkce může zmizet . Množina bodů, kde derivace není rovna nule, však musí být hustá na intervalu . $(a,b).$

(Kritérium pro striktní monotónnost funkce, která má derivaci na intervalu) Nechť a všude na intervalu je derivace definována Pak na intervalu striktně roste právě tehdy, jsou-li splněny následující dvě podmínky: $f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )},$ $f'(x).$ $F$ $(a,b)$

$\forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;$
$\forall (c,d)\podmnožina (a,b)\;\existuje x\v (c,d)\;f'(x)>0.$

Podobně přísně klesá v intervalu tehdy a pouze tehdy, jsou-li splněny následující dvě podmínky: $F$ $(a,b)$

$\forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0;$
$\forall (c,d)\podmnožina (a,b)\;\existuje x\v (c,d)\;f'(x)<0.$

Příklady

Funkce je striktně rostoucí na celé číselné ose i přesto, že bod je stacionární , tzn. v tomto bodě . $f(x)=x^{3}$ $x=0$ $f'(x)=0$
Funkce je přísně rostoucí nejen na otevřeném intervalu , ale i na uzavřeném intervalu . $f(x)=\sin x$ $(-\pi /2;\pi /2)$ $[-\pi /2;\pi /2]$
Exponent se striktně zvyšuje na celé číselné ose . $f(x)=e^{x}$
Konstanta ani neroste ani neklesá současně na celé číselné ose. $f(x)\ekviv a,\;a\in {\mathbb {R}}$
Cantorův žebříček je příkladem spojité monotónní funkce, která není konstanta, ale má derivaci, která je téměř ve všech bodech nulová.
Minkowského funkce je příkladem singulární přísně rostoucí funkce.

Variace a zobecnění

Mapování mezi topological prostory je řekl, aby byl monotónní jestliže každý bod má připojený inverzní obraz . [3] $f\dvojtečka X\to Y$ $y\v Y$ $f^{{-1}}(y)$

Poznámky

↑ Monotónní funkce / Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
↑ V. A. Iljin , V. A. Sadovničij , Bl. H. Sendov . Kapitola 4. Spojitost funkcí // Matematická analýza / Ed. A. N. Tichonova . - 3. vyd. , revidováno a doplňkové - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 146. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Collins, PJ (1971). Konkordantní zobrazení a konkordandně-disonantní faktorizace libovolné spojité funkce. Proceedings of the American Mathematical Society, 27(3), 587-591.