Lebesgueův integrál

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 31. října 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Lebesgueův integrál je zobecněním Riemannova integrálu k širší třídě funkcí .

Všechny funkce definované na konečném segmentu reálné čáry a Riemannovy integrovatelné jsou také Lebesgueově integrovatelné a v tomto případě jsou oba integrály stejné. Existuje však velká třída funkcí definovaných na intervalu a Lebesgueova integrovatelná, ale ne Riemannova integrovatelná. Také Lebesgueův integrál může mít smysl pro funkce dané na libovolných množinách ( Fréchetův integrál ).

Myšlenka sestrojení Lebesgueova integrálu [1] spočívá v tom, že místo rozdělení definičního oboru integrandu na části a následného sestavení integrálního součtu z hodnot funkce na těchto částech, jeho rozsah hodnot je rozdělena do intervalů a pak se míry předobrazů těchto intervalů sečtou s odpovídajícími váhami.

Definice

Lebesgueův integrál je určován krok za krokem, od jednodušších funkcí ke složitějším. Předpokládáme, že je nám dán prostor s mírou a je na něm definována měřitelná funkce , kde je na reálné ose Borelova algebra. $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ ${\mathcal {B}} (\mathbb {R} )$ $\sigma$

Definice 1. Nechť je indikátor nějaké měřitelné množiny, tj. , kde . Pak Lebesgueův integrál funkce podle definice: $F$ $f(x)={\mathbf {1}}_{A}(x)$ $A\in {\mathcal {F}}$ $F$

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{X}f\,d\mu =\mu (A).

Definice 2. Nechť být jednoduchá funkce , tj. , kde , a být konečným rozdělením na měřitelné množiny. Pak $F$ $f(x)=\součet \limits _{{i=1}}^{n}f_{i}\,{\mathbf {1}}_{{F_{i}}}(x)$ $\{f_{i}\}_{{i=1}}^{n}\subset {\mathbb {R}}$ $\{F_{i}\}_{{i=1}}^{n}\subset {\mathcal {F}}$ $X$

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{{i=1}}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})

Definice 3. Nechť je nyní nezáporná funkce, tj . . Zvažte všechny jednoduché funkce jako . Říkejme této rodině . Pro každou funkci z této rodiny je již definován Lebesgueův integrál. Pak je integrál dán vzorcem: $F$ $f(x)\geqslant 0\;\forall x\in X$ $\{f_{s}\}$ $f_{s}(x)\leqslant f(x)\;\forall x\in X$ ${\mathcal {P}}_{f}$ $F$

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sup \left\{\int \limits _{X}f_{s}(x)\,\mu (dx)\; \vert \;f_{s}\v {\mathcal {P}}_{f}\right\}

Konečně, má-li funkce libovolné znaménko, lze ji reprezentovat jako rozdíl dvou nezáporných funkcí. Ve skutečnosti je snadné vidět, že: $F$

f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),

kde

f^{+}(x)=\max(f(x),0),\;f^{-}(x)=-\min(0,f(x))

Definice 4. Nechť je libovolná měřitelná funkce. Pak je jeho integrál dán vzorcem: $F$

\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f^{+}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{ X}f^{-}(x)\,\mu (dx)

Definice 5. Nechť je konečně libovolná měřitelná množina. Pak podle definice $A\in {\mathcal {F}}$

\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,{\mathbf {1}}_{A}(x)\, \mu (dx)

kde je funkce indikátoru sady . ${\mathbf {1}}_{A} (x)$ $A$

Příklad

Uvažujme Dirichletovu funkci definovanou na , kde je Borelova σ-algebra na , a je Lebesgueova míra . Tato funkce nabývá hodnot v racionálních bodech a v iracionálních . Je snadné vidět, že není integrovatelný ve smyslu Riemanna. Je to však jednoduchá funkce na prostoru s konečnou mírou, protože nabývá pouze dvou hodnot, a proto je její Lebesgueův integrál definován a roven: $f(x)\equiv \chi _{{{\mathbb {Q}}_{{[0,1]}}}}(x)$ $([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)$ ${\mathcal {B}} ([0,1])$ $[0,1]$ $m$ $jeden$ $0$ $F$

\int \limits _{{[0,1]}}f(x)\,m(dx)=1\cdot m({\mathbb {Q}}_{{[0,1]}})+0 \cdot m([0,1]\setminus {\mathbb {Q}}_{{[0,1]}})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.

Ve skutečnosti je míra segmentu rovna 1, a protože množina racionálních čísel je spočetná , pak je její míra rovna 0, což znamená, že míra iracionálních čísel je rovna . $[0,1]$ $1-0=1$

Poznámky

Protože , měřitelná funkce je Lebesgueova integrovatelná právě tehdy, když je funkce Lebesgueova integrovatelná. Tato vlastnost neplatí pro Riemannův integrál; $|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$ $f(x)$ $|f(x)|$
V závislosti na volbě prostoru, míry a funkce může být integrál konečný nebo nekonečný. Jestliže integrál funkce je konečný, pak funkce je řekl, aby byl Lebesgue integrable nebo sčítat ;
Pokud je funkce definována na pravděpodobnostním prostoru a je měřitelná, pak se nazývá náhodná veličina a její integrál se nazývá matematické očekávání nebo průměr. Náhodná veličina je integrovatelná, pokud má konečné matematické očekávání. $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$

Vlastnosti

Lebesgueův integrál je lineární, tzn. $\int \limits _{X}[af(x)+bg(x)]\,\mu (dx)=a\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)+b\ int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$ ,

kde jsou libovolné konstanty;

a,b\in \mathbb{R}

Lebesgueův integrál zachovává nerovnosti, tedy pokud , je měřitelný a integrovatelný téměř všude , pak integrovatelný a , a navíc $0\leqslant f(x)\leqslant g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x)$ $0\leqslant \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\leqslant \int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$ ;
Lebesgueův integrál nezávisí na chování funkce na množině nulové míry, tedy pokud téměř všude , pak $f(x)=g(x)$ $\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$ .

Lebesgueovy integrální součty

Lebesgueovy integrální součty pro funkci a míru jsou součty tvaru $f(x)$ $\mu$

S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\cdot \mu \{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\ }

kde je oddíl rozsahu hodnot funkce . ${\displaystyle y_{1}<y_{2}<\tečky <y_{N))$ $f(x)$

Každý takový součet je Lebesgueův integrál jednoduché funkce aproximující funkci - v každém bodě nabývá jedné z hodnot (jmenovitě na podmnožině ). Pokud je tedy funkce Lebesgueova integrovatelná, tyto součty konvergují k jejímu integrálu, když , , a průměr oddílu má tendenci k nule. $f(x)$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},\tečky ,y_{N))$ $y_{k}$ $\{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}$ $f(x)$ $y_{1}\rightarrow -\infty$ $y_{N}\rightarrow +\infty$ ${\displaystyle \delta =\max\{y_{2}-y_{1},\tečky ,y_{N}-y_{N-1}\))$

Zvláštností Lebesgueových integrálních součtů je to, že pro jejich výpočet není nutné počítat hodnoty integrovatelné funkce - ve skutečnosti je zapotřebí pouze distribuční funkce jejích hodnot:

{\displaystyle F(y)=\mu \{x\in X:f(x)\leqslant y\))

Potom se Lebesgueovy integrální součty pro funkci a míru stanou Riemann-Stieltjesovými integrálními součty pro funkci a distribuční funkci : $f(x)$ $\mu$ $y$ $F(y)$

S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}(F(y_{k+1})-F(y_{k}))\rightarrow \int \limits _{-\ infty }^{+\infty }ydF(y)

Pokud má distribuční funkce hustotu: , pak se Lebesgueovy integrální součty převedou na Riemannovy integrální součty : $F(y)$ $dF(y)=\rho (y)dy$

S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\rho (y_{k})(y_{k+1}-y_{k})\rightarrow \int \limits _{ -\infty }^{+\infty }y\rho (y)dy

Protože distribuční funkce přirozeně vyvstávají v teorii pravděpodobnosti, statistické a kvantové fyzice, Lebesgueovy integrální součty se ve skutečnosti používají k výpočtu Lebesgueova integrálu, hlavně v aplikacích těchto teorií. Nejčastěji se Lebesgueův integrál počítá jako Riemannův integrál , který se mu rovná (v případech, kdy to druhé dává smysl).

Konvergence Lebesgueových integrálů posloupností funkcí

Poznámky

↑ Lebesgue, Henri (1904). „Leçons sur l'integration et la recherche des fonctions primitives“ . Paříž: Gauthier Villars.

Literatura

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. - ed. čtvrtý, revidovaný. — M .: Nauka , 1976 . — 544 s.
Trenogin V.A. Funkční analýza. — M .: Nauka , 1980 . — 495 s.
Shilov G.E. Matematická analýza. Speciální kurz. - 2. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 s.

Frolov N. A. Teorie funkcí reálné proměnné. - 2. — M .: GUPIMPR , 1961 . — 173 str.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus
V bibliografických katalozích	BNF : 125110551 J9U : 987007561114305171 LCCN : sh94008345 NDL : 00567363 NKC : ph117704

Integrální počet

Hlavní

Zobecnění
Riemannova integrálu

Integrální
transformace

Numerická
integrace

teorie míry

související témata

Seznamy integrálů