Měřitelná funkce

Měřitelné funkce představují přirozenou třídu funkcí , které spojují prostory s rozlišenými množinovými algebrami , zejména měřitelné prostory .

Definice

Dovolit a být dvě množiny s rozlišenými podmnožinou algebry . Potom se funkce nazývá - měřitelná nebo jednoduše měřitelná , pokud předobraz libovolné množiny z patří do , tj. $(X, {\mathcal {F}})$ $(Y, {\mathcal {G}})$ $f:X\to Y$ ${\mathcal {F}}/{\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {F}}$

\forall B\in {\mathcal {G)),\;f^{{-1}} (B)\in {\mathcal {F)),

kde znamená inverzní obraz množiny . $f^{-1}(B)$ $B$

Poznámky

Jestliže a jsou topologické prostory a algebry a nejsou výslovně uvedeny, pak se předpokládá, že se jedná o Borelovy σ-algebry odpovídajících prostorů. $X$ $Y$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {G}}$
Význam této definice je, že pokud je na množině dána míra, pak tato funkce indukuje (přenese) tuto míru do množiny . $X$ $Y$

Skutečně hodnotné měřitelné funkce

Nechť je dána funkce . Pak je výše uvedená definice měřitelnosti ekvivalentní kterékoli z následujících: $f:(X,{\mathcal {F)))\to ({\mathbb {R)),{\mathcal {B))({\mathbb {R))))$

Funkce je měřitelná, pokud $F$ $\forall c\in \mathbb {R} ,\;\{x\in X\mid f(x)\ >c\}\in {\mathcal {F))$ .

Funkce je měřitelná, pokud $F$ $\forall a,b\in {\mathbb {R}}$ takové , že máme , $a\leq b$ $\{x\in X\mid f(x)\in \langle a,b\rangle \}\in {\mathcal {F))$

kde označuje jakýkoli interval, otevřený, polootevřený nebo uzavřený.

\langle a,b\rangle

Související definice

Nechť a být dvě kopie reálné čáry spolu s její Borelovou σ-algebrou . Pak se měřitelná funkce nazývá Borel . $(X,{\mathcal {F}})=({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}))$ $(Y,{\mathcal {G}})=({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}))$ $f:({\mathbb {R)),{\mathcal {B))({\mathbb {R))))\to ({\mathbb {R)),{\mathcal {B))({\mathbb {R)))$
Měřitelná funkce , kde je množina elementárních výsledků , a je σ-algebra náhodných událostí , se nazývá náhodný prvek . Speciálním případem náhodného prvku je náhodná veličina , pro kterou . $f:(\Omega ,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})$ $\Omega$ ${\mathcal {F}}$ $(Y,{\mathcal {G}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$

Příklady

Nechť je spojitá funkce . Pak je měřitelný vzhledem k Borelově σ-algebře na reálné čáře. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$
Nechť a je indikátor množiny Pak funkce není měřitelná. $f:(X,{\mathcal {F}})\to ({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}})))),$ $f(x)={\mathbf {1}}_{A}(x),\;x\in X$ $A\ne \in {\matematický {F}).$ $F$

Vlastnosti

Luzinova věta . Funkce je měřitelná tehdy a jen tehdy, když pro kteroukoli existuje spojitá funkce , která se liší od množiny míry ne větší než . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\varepsilon >0$ $h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $F$ $\varepsilon$

Historie

V roce 1901 si francouzský matematik A. Lebesgue na základě teorie Lebesgueova integrálu , kterou sestavil , stanovil úkol: najít třídu funkcí, která je širší než analytická, ale zároveň umožňuje použití mnoha analytických metod. to. V této době již existovala obecná teorie míry vyvinutá E. Borelem (1898) a první práce Lebesguea byly založeny na Borelově teorii. V Lebesgueově pojednání (1902) byla teorie míry zobecněna na tzv. Lebesgueovu míru . Lebesgue definoval pojmy měřitelných množin, pro ně ohraničené měřitelné funkce a integrály, dokázal, že všechny „obyčejné“ ohraničené funkce studované v analýze jsou měřitelné a že třída měřitelných funkcí je uzavřena základními analytickými operacemi, včetně operace přechodu na limit . V roce 1904 Lebesgue zobecnil svou teorii odstraněním podmínky ohraničenosti funkce.

Lebesgueův výzkum našel širokou vědeckou odezvu, pokračovalo v nich a rozvíjelo je mnoho matematiků: E Borel, M. Ries , J. Vitali , M. R. Fréchet , N. N. Luzin , D. F. Egorov a další . topologické vlastnosti třídy měřitelných funkcí byly hluboce prozkoumány.

Lebesgueovy práce měly další důležitý koncepční význam: byly zcela založeny na Cantorově teorii množin , která byla v těch letech kontroverzní , a plodnost Lebesgueovy teorie sloužila jako silný argument pro přijetí teorie množin jako základu matematiky.

Literatura

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Prvky teorie funkcí a funkcionální analýza, 4. vyd., M.: Nauka, 1976, 544 s.
Medveděv F. A. K historii konceptu měřitelné funkce. // Historický a matematický výzkum . - M .: Fizmatgiz , 1959. - č. 12 . - S. 481-492 .
Khalmosh P. Teorie opatření. M.: Nakladatelství zahraniční literatury, 1953.