Borel sigma algebra

Borel sigma algebra je minimální sigma algebra obsahující všechny otevřené podmnožiny topologického prostoru (obsahuje také všechny uzavřené ). Tyto podmnožiny se také nazývají Borel.

Pokud není uvedeno jinak, skutečná čára funguje jako topologický prostor .

Borel sigma algebra obvykle funguje jako sigma algebra náhodných událostí v prostoru pravděpodobnosti . Borel sigma-algebra na přímce nebo na segmentu obsahuje mnoho „jednoduchých“ množin: všechny intervaly, poloviční intervaly, segmenty a jejich spočetné sjednocení.

Pojmenováno po Émile Borelovi .

Související pojmy

Borelův prostor je topologický prostor vybavený Borelovou sigma algebrou.
Borelská (borelská) funkce je zobrazení z jednoho topologického prostoru do druhého (obvykle jsou oba prostory reálných čísel ), pro které je inverzním obrazem jakékoliv Borelské množiny borelovská množina.
Borelova míra je míra definovaná na všech otevřených (a tedy na všech borelských) množinách topologického prostoru.

Vlastnosti

Každý Borel nastavený na interval je měřitelný s ohledem na Lebesgueovu míru , ale opak není pravdou.

Příklad Lebesgueovy měřitelné, ale ne Borelovy množiny

Jakákoli podmnožina množiny nulové míry je automaticky měřitelná podle Lebesguea, ale taková podmnožina nemusí být Borel.

Uvažujme funkci na intervalu , kde je Cantorův žebřík . Tato funkce je monotónní a spojitá a v důsledku toho je měřitelná. Funkce inverzní k ní je také měřitelná. Mírou obrazu Cantorovy množiny je , protože mírou obrazu jejího doplňku je . Protože míra obrazu Cantorovy množiny je nenulová, je možné v ní najít neměřitelnou množinu . Pak bude měřitelný jeho inverzní obraz (protože leží v Cantorově množině, jejíž míra je nula), ale ne Borel (protože jinak by byl měřitelný jako inverzní obraz Borelovy množiny pod měřitelným mapováním ). $f(x)={\tfrac {1}{2}}(x+c(x))$ $[0,1]$ $c(x)$ ${\tfrac {1}{2))$ ${\tfrac {1}{2))$ $A$ $f^{-1}(A)$ $A$ $f^{-1}(x)$

Literatura

V. G. Kanovei, V. A. Lyubetsky. Moderní teorie množin: Borel a projektivní množiny . - MTsNMO, 2010. - 320 s. — ISBN 78-5-94057-683-9.