Cantorův žebřík

Cantorův žebříček je příkladem spojité monotónní funkce , která není konstanta, ale má derivaci, která je téměř ve všech bodech nulová ( singulární funkce ). Někdy se jim říká „Ďáblova schodiště“ nebo „Ďáblova schodiště“. [jeden] $[0,1]\až [0,1]$

Budovy

Standardní

V bodech 0 a 1 se předpokládá, že hodnota funkce je 0 a 1. Dále je interval (0, 1) rozdělen na tři stejné části a . Na středním segmentu předpokládáme . Zbývající dva segmenty jsou opět rozděleny každý na tři stejné části a na středních segmentech se předpokládá, že jsou rovné a . Každý ze zbývajících segmentů je opět rozdělen na tři části a na vnitřních segmentech je definována jako konstanta rovna aritmetickému průměru mezi sousedními již definovanými hodnotami . Ve zbývajících bodech je segment jednotky určen spojitostí. Výsledná funkce se nazývá Cantorův žebříček . $\left(0,{\frac {1}{3}}\right)$ $\left({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3}}\right)$ $\left({\frac {2}{3)),1\right)$ $F(x)={\frac {1}{2}}$ $F(x)$ ${\frac {1}{4))$ ${\frac {3}{4))$ $F(x)$ $F(x)$

Binární a ternární notací

Jakékoli číslo může být reprezentováno v ternární číselné soustavě , . Pokud se v záznamu vyskytne 1, vyřadíme z něj všechny následující číslice a ve zbývající sekvenci nahradíme každou dvojku 1. Výsledná posloupnost dává záznam o hodnotě Cantorova žebříčku v bodě v binární číselné soustavě . $x\in[0,1]$ $x=(0{,}a_{1}a_{2}\tečky )_{3}$ $a_{i}\in \{0,1,2\}$ $0{,}a_{1}a_{2}\tečky$ $0{,}b_{1}b_{2}\tečky$ $X$

Vlastnosti

Derivace Cantorova žebříčku je definována a je nulová ve všech bodech kromě Cantorovy množiny .
Cantorův žebřík je spojitý , s omezenou variací , ale ne absolutně spojitý .
Žebřík Cantor nemá vlastnost Luzin .

Viz také

Odkazy

↑ Weisstein, Eric W. Devil 's Staircase na webu Wolfram MathWorld .