Fraktál ( lat. fractus - rozdrcený, zlomený, zlomený) - soubor , který má vlastnost sebepodobnosti (předmět, který přesně nebo přibližně odpovídá části sebe sama, to znamená, že celek má stejný tvar jako jedna nebo více částí ). V matematice jsou fraktály chápány jako množiny bodů v euklidovském prostoru , které mají zlomkovou metrickou dimenzi (ve smyslu Minkowského nebo Hausdorffa ) nebo metrickou dimenzi jinou než topologickou , takže by měly být odlišeny od jiných geometrických tvarů omezených konečným počet odkazů. Sobě podobné obrazce, které se opakují konečný počet opakování, se nazývají prefraktály.
První příklady sebepodobných množin s neobvyklými vlastnostmi se objevily v 19. století jako výsledek studia spojitých nediferencovatelných funkcí (např. Bolzanova funkce , Weierstrassova funkce , Cantorova množina ). Termín „fraktální“ zavedl Benoit Mandelbrot v roce 1975 a stal se široce známým po vydání jeho knihy „The Fractal Geometry of Nature “ v roce 1977 . Fraktály získaly oblibu zejména s rozvojem počítačových technologií, které umožnily tyto struktury efektivně vizualizovat .
Slovo „fraktál“ se používá nejen jako matematický termín. Fraktál je objekt, který má alespoň jednu z následujících vlastností:
Mnoho objektů v přírodě má fraktální vlastnosti, například: pobřeží, mraky, koruny stromů, sněhové vločky, oběhový systém, alveoly .
Od konce 19. století se v matematice objevují příklady sobě podobných objektů s patologickými vlastnostmi z pohledu klasické analýzy. Patří mezi ně následující:
Pro získání fraktálních křivek v rovině existuje jednoduchý rekurzivní postup. Definujeme libovolnou přerušovanou čáru s konečným počtem vazeb, nazývanou generátor. Dále v něm nahradíme každý segment generátorem (přesněji přerušovanou čárou podobnou generátoru). Ve výsledné přerušované čáře opět nahradíme každý segment generátorem. Pokračujeme-li do nekonečna, v limitě dostaneme fraktální křivku. Obrázek vpravo ukazuje první, druhý a čtvrtý krok tohoto postupu pro Kochovu křivku.
Příklady takových křivek jsou:
Podobným postupem se získá pythagorejský strom .
Vlastnost sebepodobnosti lze matematicky přesně vyjádřit následovně. Nechť je zobrazení kontrakce roviny. Uvažujme následující zobrazení na množině všech kompaktních (uzavřených a ohraničených) podmnožin roviny:
Lze ukázat, že zobrazení je zobrazením kontrakce na množině kompakt s Hausdorffovou metrikou . Proto podle Banachovy věty má toto zobrazení jeden pevný bod. Tento pevný bod bude naším fraktálem.
Výše popsaná rekurzivní procedura pro získání fraktálních křivek je speciálním případem této konstrukce. V něm jsou všechna mapování podobná mapování a je to počet odkazů generátoru.
Pro Sierpinského trojúhelník a zobrazení , , jsou homotheties se středy ve vrcholech pravidelného trojúhelníku a koeficient 1/2. Je snadné vidět, že Sierpinského trojúhelník se pod mapováním transformuje do sebe .
V případě, kdy jsou zobrazeními podobnostní transformace s koeficienty , lze rozměr fraktálu (za určitých dodatečných technických podmínek) vypočítat jako řešení rovnice . Takže pro Sierpinského trojúhelník dostaneme .
Podle stejné Banachovy věty , počínaje libovolnou kompaktní množinou a aplikováním iterací zobrazení na ni , získáme posloupnost kompaktních množin konvergujících (ve smyslu Hausdorffovy metriky) k našemu fraktálu.
Fraktály přirozeně vznikají při studiu nelineárních dynamických systémů . Nejvíce studovaným případem je případ, kdy je dynamický systém definován iteracemi polynomu nebo holomorfní funkce komplexní proměnné v rovině. První studie v této oblasti pocházejí z počátku 20. století a jsou spojeny se jmény Fatou a Julia.
Dovolit být polynom a být komplexní číslo . Zvažte následující sekvenci:
Zajímá nás chování této posloupnosti, když se blíží k nekonečnu. Tato sekvence může:
Sady hodnot, pro které sekvence vykazuje jeden konkrétní typ chování, stejně jako sady bodů bifurkace mezi různými typy, mají často fraktální vlastnosti.
Množina Julia je tedy množina bifurkačních bodů pro polynom (nebo jinou podobnou funkci), tedy ty hodnoty, u kterých se chování sekvence může dramaticky změnit s libovolně malými změnami v .
Další možností, jak získat fraktální množiny, je zavést parametr do polynomu a vzít v úvahu množinu těch hodnot parametrů, pro které sekvence vykazuje určité chování pro pevný . Mandelbrotova množina je tedy množinou všech , které pro a neinklinují k nekonečnu.
Dalším známým příkladem tohoto druhu jsou Newtonovy bazény .
Je populární vytvářet krásné grafické obrázky založené na komplexní dynamice vybarvováním bodů roviny v závislosti na chování odpovídajících dynamických systémů. Například pro doplnění Mandelbrotovy množiny můžete body obarvit v závislosti na rychlosti blížícího se nekonečna (definované, řekněme, jako nejmenší číslo, při kterém překračuje pevnou velkou hodnotu ).
Biomorfy jsou fraktály postavené na základě komplexní dynamiky a připomínající živé organismy.
Přírodní objekty mají často fraktální tvar. Pro jejich modelování lze použít stochastické (náhodné) fraktály. Příklady stochastických fraktálů:
Přírodní objekty ( kvazi -fraktály) se od ideálních abstraktních fraktálů liší neúplností a nepřesností opakování struktur. Většina přirozeně se vyskytujících struktur podobných fraktálům (břeh, stromy, listy rostlin, korály , …) jsou kvazi fraktály, protože v určitém malém měřítku fraktální struktura mizí. Přírodní struktury nemohou být ideálními fraktály kvůli omezením daným velikostí živé buňky a v konečném důsledku velikostí molekul .
Ve fyzice fraktály přirozeně vznikají při modelování nelineárních procesů, jako je turbulentní proudění tekutin, složité difúzně - adsorpční procesy , plameny, mraky a podobně. Fraktály se používají při modelování porézních materiálů, například v petrochemii. V biologii se používají k modelování populací a k popisu systémů vnitřních orgánů (systém krevních cév). Po vytvoření Kochovy křivky bylo navrženo její použití při výpočtu délky pobřeží.
Použití fraktální geometrie při návrhu anténních zařízení bylo průkopníkem amerického inženýra Nathana Cohena, který tehdy žil v centru Bostonu , kde bylo zakázáno instalovat externí antény na budovy. Nathan vystřihl z hliníkové fólie postavu v podobě Kochovy křivky , nalepil ji na list papíru a připevnil ke sluchátku .
Cohen založil vlastní společnost a sériově vyráběl své antény. Od té doby se teorie fraktálových antén dále intenzivně rozvíjí. [2] [3] [4] Výhodou takových antén je vícepásmové a srovnávací širokopásmové.
Existují algoritmy komprese obrazu pomocí fraktálů. Jsou založeny na myšlence, že místo samotného obrázku lze uložit mapu kontrakcí , pro kterou je tento obrázek (nebo něco jemu blízkého) pevným bodem . Jednu z variant tohoto algoritmu použil Microsoft [5] při vydávání své encyklopedie, ale tyto algoritmy nebyly široce používány.
Počítačová grafikaFraktály jsou široce používány v počítačové grafice k vytváření obrázků přírodních objektů, jako jsou stromy, keře, horské krajiny, mořské hladiny a tak dále. Existuje mnoho programů, které slouží ke generování fraktálových obrázků, viz Fractal Generator (program) .
Decentralizované sítěSystém přidělování IP adres Netsukuku využívá princip komprese fraktálních informací pro kompaktní ukládání informací o síťových uzlech. Každý uzel v síti Netsukuku uchovává pouze 4 KB informací o stavu sousedních uzlů, přičemž každý nový uzel se připojuje k obecné síti bez nutnosti centrální regulace distribuce IP adres , což je typické např. Internet. Princip komprese fraktálních informací tedy zaručuje zcela decentralizovaný, a tedy nejstabilnější provoz celé sítě.
Slovníky a encyklopedie | |
---|---|
V bibliografických katalozích |
|
fraktály | ||
---|---|---|
Charakteristika | ||
Nejjednodušší fraktály | ||
podivný atraktor | Multifraktální | |
L-systém | Křivka vyplňující prostor | |
Bifurkační fraktály | ||
Náhodné fraktály | ||
Lidé | ||
související témata |
Křivky | |||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Definice | |||||||||||||||||||
Transformováno | |||||||||||||||||||
Nerovinné | |||||||||||||||||||
Plochá algebraika |
| ||||||||||||||||||
Ploché transcendentální |
| ||||||||||||||||||
fraktál |
|
Geometrické vzory v přírodě | ||
---|---|---|
vzory | ||
Procesy | ||
Výzkumníci |
| |
Související články |
|