Verziera Agnesi

Verziera (versiera) Agnesi (někdy Agnesiin zámek ) je rovinná křivka , těžiště bodů , pro které platí vztah , kde je průměr kružnice, je polostruna této kružnice, kolmice na . Agnesi versiera dostala své jméno na počest italské matematičky Maria Gaetana Agnesi , která tuto křivku studovala. $M$ $\textstyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {OA}{OB}}$ $OA$ $před naším letopočtem$ $OA$

Historie

Pierre Fermat v roce 1630 našel oblast oblasti mezi křivkou a její asymptotou. V roce 1703 Guido Grandi nezávisle na Fermatovi popsal konstrukci této křivky a ve své práci z roku 1718 ji nazval versiera ( italsky Versiera , z latinského Versoria ), protože při její konstrukci byla použita funkce sine-versus . [jeden]

V roce 1748 vydala Maria Agnesi známou zobecňující práci Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana , v níž byla křivka, stejně jako v Grandiho díle, nazývána versier. Shodou okolností italské slovo Versiera/Aversiera , odvozené z latinského Adversarius , mělo také význam „čarodějnice“ (anglicky čarodějnice ) [2] . Možná i proto cambridgeský profesor John Colson, který Agnesiho dílo do angličtiny přeložil, toto slovo špatně přeložil, v důsledku čehož je křivka v anglické literatuře často označována jako čarodějnice Agnesi .

Rovnice

$O=(0,0)$ , $A=(0,a)$

V pravoúhlém souřadnicovém systému:

y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}

Závěr

Souřadnice bodu ležícího na versieru jsou , . a podle definice vytváříme poměr $M$ $x=BM$ $y=OB$ $OA=a$

\textstyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}

Odtud

\textstyle BC={\frac {xy}{a}}

Na druhou stranu lze zjistit z rovnice kruhu: $před naším letopočtem$

\textstyle \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}

Víme, a proto vyjadřujeme : $y=OB$ $x^{2}$

\textstyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}

Srovnejte oba výrazy pro : $před naším letopočtem$

\textstyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac { a}{2}}\right)^{2}

Umocňování, překládání a vytváření závorek: $y^{2}$

\textstyle \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay

Vyjádříme y (y=0 není z definice vhodné):

\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}

Pokud - to není průměr , ale poloměr kruhu, pak rovnice je: $A$

\textstyle y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}

Parametrická rovnice:

{\begin{cases}x=a\,\název operátora {tg}\,\varphi \\y=a\cos ^{2}\varphi \end{cases))

, kde je úhel mezi a

\varphi

OA

OC

Závěr

Souřadnice bodu jsou jednoznačně určeny úhlem mezi a . Jestliže , a , pak lze podle definice versieru sestavit poměr $M$ $\varphi$ $OB$ $OC$ $OB=y$ $BM=x$

\textstyle {\frac {OA}{y}}={\frac {x}{BC}}

$OA$ podle předpokladu se rovná . Z trojúhelníku : , tedy $A$ $OBC$ $BC=y\,\jméno operátora {tg}\,\varphi$

\textstyle {\frac {a}{y}}={\frac {x}{y\,\operatorname {tg}\,\varphi }}

odtud . Tento vzorec dosadíme do rovnice křivky: $x=a\,\jméno operátora {tg}\,\varphi$

\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+a^{2}\,\název operátora {tg}^{2}\,\varphi }}

\textstyle y={\frac {a}{1+\,\jméno operátora {tg}^{2}\,\varphi }}

Pomocí identity dostaneme

y=a\cos ^{2}\varphi

V polárním systému je rovnice versiera poměrně komplikovaná: abyste ji našli, musíte vyřešit kubickou rovnici :

\textstyle \rho \sin {\varphi }={\frac {a^{3}}{a^{2}+\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi }}

\textstyle \rho ^{3}(\cos ^{2}\varphi \sin \varphi )+\rho (a^{2}\sin \varphi )-a^{3}=0

Výsledný vzorec však bude příliš složitý a těžkopádný na to, aby měl nějakou praktickou hodnotu.

Vlastnosti

Verzier je křivka třetího řádu.
Průměr je jedinou osou symetrie křivky. $OA$
Křivka má jedno maximum - a dva inflexní body - $A(0;a)$ $\textstyle P_{{1,2}}\left(\pm {\frac {a}({\sqrt {3))));{\frac {3a}{4}}\right)$
V blízkosti vrcholu se versier blíží ke kružnici o průměru . Bod se dotkne a křivka se shoduje s kružnicí. To je znázorněno hodnotou poloměru křivosti v bodě : . $A$ $OA$ $A$ $A$ $\textstyle R_{A}={\frac {a}{2}}$
Oblast pod grafem . Vypočítá se integrací rovnice přes všechny . $S=\pi a^{2}$ $\textstyle {\mathbb {R}}$
Objem rotačního tělesa versieru kolem jeho asymptoty (osy ) . $VŮL$ $\textstyle V={\frac {\pi ^{2}a^{3}}{2}}$

Konstrukce

Sestrojí se kružnice o průměru a tečna k ní. Na tečně je vybrán referenční systém s počátkem v bodě dotyku. Přes vybraný tečný bod a kruhový bod naproti tečnému bodu se vytvoří přímka. Tato čára v určitém bodě protíná kružnici. Tímto bodem je vedena přímka rovnoběžná s tečnou . Bod versier leží v průsečíku této přímky a kolmice k tečně ve vybraném bodě. $A$

Zajímavosti

Odrazový můstek - rampu ruské letadlové lodi Admirál flotily Sovětského svazu Kuzněcov tvořila versier Agnesi. Když letadlo opustí rampu, je v ideálním úhlu náběhu při rychlosti 180-200 km/h (u Su-27 ). Z odrazového můstku může teoreticky vzlétnout letadlo jakékoli vzletové hmotnosti. [3]

Viz také

Literatura

Vygodsky M. Ya. Příručka vyšší matematiky. — M .: AST : Astrel , 2006.

Odkazy

I. M. Vinogradov. Agnesi curl // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1977-1985. (Ruština)
Jednotná sbírka digitálních vzdělávacích zdrojů . Staženo: 13. ledna 2012. (neurčitý)
Stavební animace . Datum přístupu: 13. ledna 2012. Archivováno z originálu 14. března 2012.
Článek v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (fr.) . Získáno 15. června 2010. Archivováno z originálu 14. března 2012.
Článek na webu Wolfram MathWorld . Staženo: 15. června 2010.
XahLee.org (anglicky) . Staženo: 13. ledna 2012.
Leslie Pacher. Matematická "Čarodějnice" (anglicky) (nedostupný odkaz) . Datum přístupu: 13. ledna 2012. Archivováno z originálu 14. března 2012.

Poznámky

↑ C. Truesdell . Opravy a doplňky pro 'Maria Gaetana Agnesi // Archiv pro historii exaktní vědy. - 1991. - Sv. 43. - S. 385-386. - doi : 10.1007/BF00374764 .
↑ Pietro Fanfani . Vocabolario dell' uso toscano, str. 334 Archivováno 2. května 2014 na Wayback Machine
↑ Kudrna krásy a obří kuše: Simulátor Thread – minulost a budoucnost . Získáno 21. srpna 2012. Archivováno z originálu dne 20. dubna 2012. (neurčitý)

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Britannica (online) Treccani

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius