Kolmost

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. května 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Kolmost (z lat. perpendicularis - doslova olovnice) [1] - binární vztah mezi různými objekty ( vektory , čáry , podprostory atd.).

Existuje obecně uznávaný symbol pro kolmost: ⊥, navržený v roce 1634 francouzským matematikem Pierrem Erigonem . Například kolmost čar a je zapsána jako . $m$ $n$ $m\perp n$

V letadle

Kolmé čáry v rovině

Dvě přímky v rovině se nazývají kolmé, pokud tvoří 4 pravé úhly , když se protínají .

O přímce kolmé k přímce protažené bodem mimo čáru říkají, že existuje kolmice pokleslá z do . Pokud bod leží na přímce , pak říkají, že existuje kolmice na obnoveno od do (zastaralý výraz obnoveno [2] ). $m$ $\ell$ $P$ $\ell$ $m$ $P$ $\ell$ $P$ $\ell$ $m$ $P$ $\ell$

V souřadnicích

V analytickém výrazu přímky dané lineárními funkcemi

y=a\cdot x+b

y=k\cdot x+m

budou kolmé, pokud je splněna následující podmínka na jejich sklonech

a\cdot k=-1.

Konstrukce kolmice

Krok 1: Pomocí kružítka nakreslete půlkruh se středem v bodě P , čímž získáte body A a B.

Krok 2: Beze změny poloměru sestrojte dva půlkruhy se středem v bodech A a B , procházející bodem P. Kromě bodu P existuje ještě jeden průsečík těchto půlkružnic, nazvěme jej Q .

Krok 3: Spojte body P a Q. PQ je kolmice k přímce AB .

Souřadnice základního bodu kolmice k přímce

Nechť je přímka dána body a . Kolmice klesá z bodu k přímce . Potom lze základnu kolmice najít následovně. $A(x_a,y_a)$ $B(x_b,y_b)$ $P(x_p,y_p)$ $O(x_o,y_o)$

Pokud (vertikálně), pak a . If (horizontální), pak a . $x_a = x_b$ $x_o = x_a$ $y_o = y_p$ $y_a = y_b$ $x_o = x_p$ $y_o = y_a$

Ve všech ostatních případech:

x_o = \frac{x_a\cdot(y_b-y_a)^2 +x_p\cdot(x_b-x_a)^2 + (x_b-x_a)\cdot(y_b-y_a)\cdot(y_p-y_a)}{(y_b -y_a)^2+(x_b-x_a)^2}

;

y_o = \frac{(x_b-x_a)\cdot(x_p-x_o)}{(y_b-y_a)}+y_p

Ve 3D prostoru

Kolmé čáry

Dvě přímky v prostoru jsou na sebe kolmé, pokud jsou rovnoběžné s nějakými dalšími dvěma navzájem kolmými přímkami ležícími ve stejné rovině. Dvě přímky ležící ve stejné rovině se nazývají kolmé (nebo vzájemně kolmé), pokud svírají čtyři pravé úhly.

Kolmost přímky k rovině

Definice : Přímka se nazývá kolmá k rovině, pokud je kolmá ke všem přímkám ležícím v této rovině.

Znaménko : Pokud je přímka kolmá ke dvěma protínajícím se přímkám roviny, pak je kolmá k této rovině.

Rovina kolmá k jedné ze dvou rovnoběžných přímek je také kolmá k druhé. Jakýmkoli bodem v prostoru prochází přímka kolmá k dané rovině a navíc pouze jedna.

Kolmé roviny

Říká se, že dvě roviny jsou kolmé, pokud je mezi nimi úhel 90°.

Prochází-li rovina přímkou kolmou k jiné rovině, pak jsou tyto roviny kolmé .
Je-li z bodu patřícího do jedné ze dvou kolmých rovin nakreslena kolmice k druhé rovině, pak tato kolmice leží zcela v první rovině.
Pokud v jedné ze dvou kolmých rovin nakreslíme kolmici k jejich průsečíku, pak tato kolmice bude kolmá na druhou rovinu.
Rovina kolmá na dvě protínající se roviny je kolmá na jejich průsečík [3] .

Ve vícerozměrných prostorech

Kolmost rovin ve 4-rozměrném prostoru

Kolmost rovin ve čtyřrozměrném prostoru má dva významy: roviny mohou být kolmé ve 3-rozměrném smyslu, pokud se protínají v přímce (a tedy leží ve stejné nadrovině ) a úhel mezi nimi je 90°.

Roviny mohou být také kolmé ve 4-rozměrném smyslu, pokud se protínají v bodě (a tedy neleží ve stejné nadrovině), a jakékoli 2 čáry nakreslené v těchto rovinách přes jejich průsečík (každá přímka ve své vlastní rovině) jsou kolmý.

Ve 4rozměrném prostoru lze daným bodem protáhnout právě 2 vzájemně kolmé roviny ve 4rozměrném smyslu (proto lze 4rozměrný euklidovský prostor reprezentovat jako kartézský součin dvou rovin). Pokud zkombinujeme oba typy kolmosti, pak lze přes tento bod nakreslit 6 vzájemně kolmých rovin (kolmých v kterékoli ze dvou výše uvedených hodnot).

Existenci šesti vzájemně kolmých rovin lze vysvětlit na následujícím příkladu. Nechť je dána soustava kartézských souřadnic x yzt . Pro každou dvojici souřadnicových čar existuje rovina, která obsahuje tyto dvě přímky. Počet takových dvojic je : xy , xz , xt , yz , yt , zt a odpovídají 6 rovinám. Ty z těchto rovin, které zahrnují stejnojmennou osu, jsou kolmé v trojrozměrném smyslu a protínají se v přímce (například xy a xz , yz a zt ), a ty, které nezahrnují stejné osy name jsou kolmé ve 4-rozměrném smyslu a protínají se v bodě (například xy a zt , yz a xt ). $\tbinom{4}{2}=6$

Kolmost přímky a nadroviny

Nechť je dán n-rozměrný euklidovský prostor (n>2) a vektorový prostor s ním spojený a přímka l s řídícím vektorovým prostorem a nadrovina s řídícím vektorovým prostorem (kde , ) patří do prostoru . $\mathbb {R} ^{n}$ $W^n$ $L^1$ $\Pi_{k}$ $L^{k}$ $L_1\podmnožina W^n$ $L^k \podmnožina W^n,\ k < n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Přímka l se nazývá kolmá k nadrovině , pokud je podprostor ortogonální k podprostoru , tzn. $\Pi_{k}$ $L_{1}$ $L^{k}$ $(\forall \vec a \in L_1)\ (\forall \vec b \in L_k)\ \vec a \vec b=0$

Variace a zobecnění

V teorii inverze jsou zavedeny: kruh nebo přímka, kolmá na kružnici . $\Gamma$
V teorii kruhů a inverze se říká , že dva kruhy, které se protínají v pravých úhlech , jsou ortogonální ( kolmé ). Kružnice lze považovat za ortogonální , pokud navzájem svírají pravý úhel . Úhel mezi křivkami je obvykle úhel mezi jejich tečnami nakreslenými v bodě jejich průsečíku.
V teorii inverze je přímka kolmá ke kružnici , pokud prochází jejím středem. $\Gamma$

Viz také

Poznámky

↑ Slovník cizích slov. - M .: " Ruský jazyk ", 1989. - 624 s. ISBN 5-200-00408-8
↑ A. P. Kiselev . Elementární geometrie / editoval N. A. Glagolev . — 1938.
↑ Alexandrov A.D. , Werner A.L., Ryzhik V.I. Stereometrie. Geometrie v prostoru . - Visaginas: Alfa, 1998. - S. 46 . — 576 s. - (Studentská knihovna). — ISBN 9986582539 .