Rovný

Přímka  je jedním ze základních pojmů euklidovské geometrie . V systematické prezentaci geometrie jsou přímky obvykle brány jako jeden z původních ( nedefinovatelných ) pojmů [1] , jejich vlastnosti a souvislost s jinými pojmy (například body a roviny ) jsou určeny axiomy geometrie [2]. .

Přímka je spolu s kruhem jedním z nejstarších geometrických útvarů. Starověcí geometrové považovali tyto dvě křivky za „dokonalé“, a proto uznávali pouze konstrukce s kružníkem a pravítko . Euclid popsal čáru jako „délku bez šířky“, která „leží stejně na všech jejích bodech“ [3] .

Analogy čar lze také definovat v některých typech neeuklidovských prostorů. Pokud je základem pro konstrukci geometrie koncept vzdálenosti mezi dvěma body v prostoru, pak lze úsečku přímky definovat jako nejkratší křivku spojující tyto body. Například, v Riemannian geometrii , roli přímek hrají geodesics , který jsou nejkratší linky; na kouli jsou oblouky velkých kružnic nejkratšími oblouky [4] .

Vlastnosti přímky v euklidovské geometrii

Úseky přímky ohraničené dvěma jejími body se nazývají úsečky .

Rovnice přímky v rovině

Obecná rovnice přímky

Obecná rovnice přímky v rovině v kartézských souřadnicích je :

kde a  jsou libovolné konstanty a konstanty a se zároveň nerovnají nule.

V , je čára rovnoběžná s osou , v ,  je rovnoběžná s osou .

Vektor se souřadnicemi se nazývá normálový vektor, je kolmý k přímce.

V , čára prochází počátkem souřadnic .

Rovnici lze také přepsat jako

Rovnice přímky se sklonem

Rovnice přímky, která protíná osu v bodě a svírá s kladným směrem osy úhel :

Koeficient se nazývá sklon přímky.

V této podobě není možné znázornit přímku rovnoběžnou s osou (Někdy se v tomto případě formálně říká, že sklon „jde do nekonečna“.)

Rovnice přímky v úsecích

Rovnice přímky protínající osu v bodě a osu v bodě :

V této podobě je nemožné znázornit přímku procházející počátkem.

Normální rovnice přímky

kde  je délka kolmice svržené na přímku od počátku a  je úhel (měřený v kladném směru) mezi kladným směrem osy a směrem této kolmice. Jestliže , pak úsečka prochází počátkem a úhel určuje úhel sklonu úsečky.

Odvození normální rovnice přímky

Nechť je pak dána přímka a uvažujme její ort pro tuto kolmici Předpokládejme, že úhel mezi a osou je Od té doby můžeme psát: Nyní uvažujme libovolný bod Nakreslíme vektor poloměru Nyní najdeme projekci na vektor . je normální rovnice přímky.

Je-li přímka dána obecnou rovnicí, pak segmenty a jí odříznuté segmenty na osách, úhlový koeficient je vzdálenost přímky od počátku souřadnic a jsou vyjádřeny pomocí koeficientů , a jak následuje:

Aby se předešlo nejistotě, je znaménko před radikálem zvoleno tak, aby byla splněna podmínka V tomto případě a jsou směrové kosiny kladné normály přímky - kolmice klesla z počátku na přímku. Pokud pak přímka prochází počátkem a volba kladného směru je libovolná.

Rovnice přímky procházející dvěma danými neshodnými body

Jsou-li dány dva neshodné body se souřadnicemi a , pak je přímka, která jimi prochází, dána rovnicí

nebo

nebo obecně

Vektorová parametrická rovnice přímky

Vektorová parametrická rovnice přímky je dána vektorem, jehož konec leží na přímce, a směrovým vektorem přímky , který prochází všemi reálnými hodnotami .

Parametrické rovnice přímky

Parametrické rovnice přímky lze zapsat jako:

kde  je libovolný parametr,  jsou souřadnice a směrový vektor přímky. V čem

Význam parametru je podobný jako parametr ve vektorově parametrické rovnici.

Kanonická rovnice přímky

Kanonická rovnice se získá z parametrických rovnic dělením jedné rovnice druhou:

Závěr

kde  jsou souřadnice jak směrového vektoru přímky , tak souřadnice bodu náležejícího k přímce.

Rovnice přímky v polárních souřadnicích

Rovnice přímky v polárních souřadnicích a :

nebo

Tangenciální rovnice přímky

Tangenciální rovnice přímky na rovině:

Čísla a se nazývají jeho tangenciální , lineární nebo Plückerovy souřadnice .

Rovnice přímky v prostoru

Vektorová parametrická rovnice přímky v prostoru:

kde  je vektor poloměru nějakého pevného bodu ležícího na přímce,  je nenulový vektor kolineární k této přímce (nazývaný její směrový vektor),  je vektor poloměru libovolného bodu na přímce.

Parametrické rovnice přímky v prostoru:

kde  jsou souřadnice nějakého pevného bodu ležícího na přímce;  jsou souřadnice vektoru kolineární k této přímce.

Kanonická rovnice přímky v prostoru:

kde  jsou souřadnice nějakého pevného bodu ležícího na přímce;  jsou souřadnice vektoru kolineární k této přímce.

Obecná vektorová rovnice přímky[ objasnit ] ve vesmíru:

Protože přímka je průsečíkem dvou různých rovin , daný obecnými rovnicemi : a

pak rovnice přímky může být dána soustavou těchto rovnic:

Vektorová rovnice přímky v prostoru [6] :196-199 :

Rovnici přímky v prostoru lze zapsat jako vektorový součin vektoru poloměru libovolného bodu této přímky a pevného směrového vektoru přímky :

kde fixní vektor , ortogonální k vektoru , lze nalézt dosazením vektoru poloměru kteréhokoli známého bodu čáry do této rovnice.

Vzájemné uspořádání bodů a čar v rovině

Tři body , a leží na stejné lince tehdy a jen tehdy, když je podmínka

Odchylku bodu od přímky lze zjistit vzorcem

kde znaménko před radikálem je opačné než znaménko Modulo odchylka je rovna vzdálenosti mezi bodem a přímkou ; je kladné, pokud bod a počátek leží na opačných stranách úsečky, a záporné, pokud jsou na stejné straně.

V prostoru vzdálenost od bodu k přímce daná parametrickou rovnicí

lze nalézt jako minimální vzdálenost od daného bodu k libovolnému bodu na přímce. Koeficient tohoto bodu lze zjistit vzorcem

Vzájemné uspořádání několika přímek v rovině

Dvě přímky dané rovnicí

nebo

protínají v bodě

Úhel mezi protínajícími se čarami je dán vztahem

V tomto případě se termín vztahuje k úhlu, o který musí být první přímka (zadaná parametry , , , a ) otočena proti směru hodinových ručiček kolem průsečíku, dokud se poprvé neshoduje s druhou přímkou.

Tyto čáry jsou rovnoběžné jestliže nebo , a kolmé jestliže nebo .

Libovolná přímka rovnoběžná s přímkou ​​s rovnicí může být vyjádřena rovnicí. V tomto případě bude vzdálenost mezi těmito přímkami rovna

Pokud je rovnice přímky dána jako a rovnice přímky je s ní rovnoběžná , lze vzdálenost vypočítat jako

Pokud je znaménko před radikálem opačné, pak bude kladné, když druhá čára a počátek leží na opačných stranách první čáry.

Aby byly tři rovné

protínají v jednom bodě nebo jsou navzájem rovnoběžné, je nutné a postačující, aby podm

Jestliže a , pak čáry a jsou kolmé na .

Některé speciální typy čar

Poznámky

  1. Coxeter, 1969 , str. čtyři
  2. Matematická encyklopedie, 1984 , str. 721-722.
  3. Proclus Diadochus. Komentář k první knize Euklidových „Počátků“  / Univerzita Dmitrije Pozharského. - M. , 2013. - S. 116. - 368 s.
  4. Norden A.P. Krátký kurz diferenciální geometrie. - M .: Fizmatgiz, 1958. - S. 214-215. — 244 s.
  5. Faber, Příloha B, str. 300.
  6. Gusyatnikov P.B., Rezničenko S.V. Vektorová algebra v příkladech a problémech . - M . : Vyšší škola , 1985. - 232 s.

Literatura

Odkazy