Rovný

Přímka je jedním ze základních pojmů euklidovské geometrie . V systematické prezentaci geometrie jsou přímky obvykle brány jako jeden z původních ( nedefinovatelných ) pojmů [1] , jejich vlastnosti a souvislost s jinými pojmy (například body a roviny ) jsou určeny axiomy geometrie [2]. .

Přímka je spolu s kruhem jedním z nejstarších geometrických útvarů. Starověcí geometrové považovali tyto dvě křivky za „dokonalé“, a proto uznávali pouze konstrukce s kružníkem a pravítko . Euclid popsal čáru jako „délku bez šířky“, která „leží stejně na všech jejích bodech“ [3] .

Analogy čar lze také definovat v některých typech neeuklidovských prostorů. Pokud je základem pro konstrukci geometrie koncept vzdálenosti mezi dvěma body v prostoru, pak lze úsečku přímky definovat jako nejkratší křivku spojující tyto body. Například, v Riemannian geometrii , roli přímek hrají geodesics , který jsou nejkratší linky; na kouli jsou oblouky velkých kružnic nejkratšími oblouky [4] .

Vlastnosti přímky v euklidovské geometrii

Úseky přímky ohraničené dvěma jejími body se nazývají úsečky .

Existuje nekonečně mnoho čar , které lze nakreslit jakýmkoliv bodem .
Přes jakékoli dva neshodné body vede pouze jedna přímka.
Dvě neshodné přímky v rovině se buď protínají v jediném bodě [5] , nebo jsou rovnoběžné (vyplývá z předchozí).
V trojrozměrném prostoru existují tři možnosti pro relativní polohu dvou neshodných čar:
- čáry se protínají;
- přímky jsou rovnoběžné ;
- přímé čáry se protínají .
Přímka je algebraická křivka prvního řádu : v kartézském souřadnicovém systému je přímka definována na rovině rovnicí prvního stupně ( lineární rovnice ).

Rovnice přímky v rovině

Obecná rovnice přímky

Obecná rovnice přímky v rovině v kartézských souřadnicích je :

Ax+By+C=0,

kde a jsou libovolné konstanty a konstanty a se zároveň nerovnají nule. $A,B$ $C$ $A$ $B$

V , je čára rovnoběžná s osou , v , je rovnoběžná s osou . $A=0$ $Vůl$ $B=0$ $Oj$

Vektor se souřadnicemi se nazývá normálový vektor, je kolmý k přímce. $(A,B)$

V , čára prochází počátkem souřadnic . $C=0$

Rovnici lze také přepsat jako

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.

Rovnice přímky se sklonem

Rovnice přímky, která protíná osu v bodě a svírá s kladným směrem osy úhel : $Oj$ $(0,\;b)$ $\varphi$ $Vůl$

y=kx+b,\quad k={\mathrm {tg}}\,\varphi .

Koeficient se nazývá sklon přímky. $k$

V této podobě není možné znázornit přímku rovnoběžnou s osou (Někdy se v tomto případě formálně říká, že sklon „jde do nekonečna“.) $Ach.$

Rovnice přímky v úsecích

Rovnice přímky protínající osu v bodě a osu v bodě : $Vůl$ $(a,\;0)$ $Oj$ $(0,\;b)$

{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\quad (a\neq 0,\;b\neq 0).

V této podobě je nemožné znázornit přímku procházející počátkem.

Normální rovnice přímky

x\cos \theta +y\sin \theta -p=0,

kde je délka kolmice svržené na přímku od počátku a je úhel (měřený v kladném směru) mezi kladným směrem osy a směrem této kolmice. Jestliže , pak úsečka prochází počátkem a úhel určuje úhel sklonu úsečky. $p$ $\theta$ $Vůl$ $p=0$ $\theta =\varphi +{\frac {\pi }{2))$

Odvození normální rovnice přímky

Nechť je pak dána přímka a uvažujme její ort pro tuto kolmici Předpokládejme, že úhel mezi a osou je Od té doby můžeme psát: Nyní uvažujme libovolný bod Nakreslíme vektor poloměru Nyní najdeme projekci na vektor . je normální rovnice přímky. ■ $L.$ $OP\perp L$ $|\overrightarrow {OP}|=p.$ $\overrightarrow {e_{p}},|\overrightarrow {e_{p}}|=1.$ $|\overrightarrow {e_{p}}|$ $Vůl$ $\theta .$ $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ $\overrightarrow {e_{p}}=(\cos \theta ;\sin \theta ).$ $M(x,y).$ $\overrightarrow {OM}=(x,y).$ $\overrightarrow {OM}$ $\overrightarrow {e_{p}}.$ $(\overrightarrow {e_{p}},\overrightarrow {OM})=x\cos \theta +y\sin \theta =p.$ $x\cos \theta +y\sin \theta -p=0.$

Je-li přímka dána obecnou rovnicí, pak segmenty a jí odříznuté segmenty na osách, úhlový koeficient je vzdálenost přímky od počátku souřadnic a jsou vyjádřeny pomocí koeficientů , a jak následuje: $Ax+By+C=0,$ $A$ $b,$ $k,$ $p,$ $\cos \theta$ $\sin \theta$ $A$ $B$ $C$

a=-{\frac {C}{A)),\quad b=-{\frac {C}{B)),\quad k={\mathrm {tg))\,\varphi =-{\frac {A}{B)),\quad \varphi =\theta -{\frac {\pi }{2)),

p={\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2))))},\quad \cos \theta ={\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\quad \sin \theta ={\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}} }}.

Aby se předešlo nejistotě, je znaménko před radikálem zvoleno tak, aby byla splněna podmínka V tomto případě a jsou směrové kosiny kladné normály přímky - kolmice klesla z počátku na přímku. Pokud pak přímka prochází počátkem a volba kladného směru je libovolná. $p>0.$ $\cos \theta$ $\sin \theta$ $C=0,$

Rovnice přímky procházející dvěma danými neshodnými body

Jsou-li dány dva neshodné body se souřadnicemi a , pak je přímka, která jimi prochází, dána rovnicí $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$

{\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0

nebo

{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

nebo obecně

\left(y_{1}-y_{2}\right)x+\left(x_{2}-x_{1}\right)y+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{ 1}\vpravo)=0.

Vektorová parametrická rovnice přímky

Vektorová parametrická rovnice přímky je dána vektorem, jehož konec leží na přímce, a směrovým vektorem přímky , který prochází všemi reálnými hodnotami . ${\vec {r}}_{0},$ ${\vec {u}}.$ $t$

{\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+t{\vec {u}}.

Parametrické rovnice přímky

Parametrické rovnice přímky lze zapsat jako:

{\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t,\\y=y_{0}+a_{y}t,\end{cases))

kde je libovolný parametr, jsou souřadnice a směrový vektor přímky. V čem $t$ $a_{x},\;a_{y}$ $X$ $y$

k={\frac {a_{y}}{a_{x}}},\quad a={\frac {a_{y}x_{0}-a_{x}y_{0}}{a_{y} )),\quad b={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{a_{x}}},

p={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}} )),\quad \cos \theta ={\frac {a_{x}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2))))},\quad \sin \theta ={\frac {a_{y}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}}.

Význam parametru je podobný jako parametr ve vektorově parametrické rovnici. $t$

Kanonická rovnice přímky

Kanonická rovnice se získá z parametrických rovnic dělením jedné rovnice druhou:

Závěr

{\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t\\y=y_{0}+a_{y}t\end{cases))

{\begin{cases}x-x_{0}=a_{x}t\\y-y_{0}=a_{y}t\end{cases))

{\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}

{\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}\Longleftrightarrow {\frac {x-x_{0}} {a_{x}}}={\frac {y-y_{0}}{a_{y}}}

kde jsou souřadnice jak směrového vektoru přímky , tak souřadnice bodu náležejícího k přímce. $a_{x},a_{y}$ $X$ $y$ $x_{0}$ $y_0$

Rovnice přímky v polárních souřadnicích

Rovnice přímky v polárních souřadnicích a : $\rho$ $\varphi$

\rho (A\cos \varphi +B\sin \varphi )+C=0

nebo

\rho \cos(\varphi -\theta )=p.

Tangenciální rovnice přímky

Tangenciální rovnice přímky na rovině:

\xi x+\eta y=1.

Čísla a se nazývají jeho tangenciální , lineární nebo Plückerovy souřadnice . $\xi$ $\eta$

Rovnice přímky v prostoru

Vektorová parametrická rovnice přímky v prostoru:

{\vec r}={\vec {r}}_{0}+t{\vec a},\quad t\in (-\infty,\;+\infty),

kde je vektor poloměru nějakého pevného bodu ležícího na přímce, je nenulový vektor kolineární k této přímce (nazývaný její směrový vektor), je vektor poloměru libovolného bodu na přímce. ${\vec {r}}_{0}$ $M_{0},$ $\vec a$ ${\vec {r))$

Parametrické rovnice přímky v prostoru:

x=x_{0}+t\alpha ,\;y=y_{0}+t\beta ,\;z=z_{0}+t\gamma ,\quad t\in (-\infty ,\;+ \infty ),

kde jsou souřadnice nějakého pevného bodu ležícího na přímce; jsou souřadnice vektoru kolineární k této přímce. $(x_{0},\;y_{0},\;z_{0})$ $M_{0},$ $(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )$

Kanonická rovnice přímky v prostoru:

{\frac {x-x_{0}}{\alpha }}={\frac {y-y_{0}}{\beta }}={\frac {z-z_{0}}{\gamma }} ,

kde jsou souřadnice nějakého pevného bodu ležícího na přímce; jsou souřadnice vektoru kolineární k této přímce. $(x_{0},\;y_{0},\;z_{0})$ $M_{0},$ $(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )$

Obecná vektorová rovnice přímky[ objasnit ] ve vesmíru:

Protože přímka je průsečíkem dvou různých rovin , daný obecnými rovnicemi :

({\vec r},\;{\vec N}_{1})+D_{1}=0

({\vec r},\;{\vec N}_{2})+D_{2}=0,

pak rovnice přímky může být dána soustavou těchto rovnic:

{\begin{cases}({\vec r},\;{\vec N}_{1})+D_{1}=0,\\({\vec r},\;{\vec N}_ {2})+D_{2}=0.\end{cases}}

Vektorová rovnice přímky v prostoru [6] :196-199 :

Rovnici přímky v prostoru lze zapsat jako vektorový součin vektoru poloměru libovolného bodu této přímky a pevného směrového vektoru přímky :

{\vec {r))

\vec a

[{\vec r},{\vec a}]={\vec M},

kde fixní vektor , ortogonální k vektoru , lze nalézt dosazením vektoru poloměru kteréhokoli známého bodu čáry do této rovnice. $\vec M$ $\vec a$

Vzájemné uspořádání bodů a čar v rovině

Tři body , a leží na stejné lince tehdy a jen tehdy, když je podmínka $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$ $(x_{3},\;y_{3})$

{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.

Odchylku bodu od přímky lze zjistit vzorcem $(x_1,\;y_1)$ $Ax+By+C=0$

\delta ={\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2))))},

kde znaménko před radikálem je opačné než znaménko Modulo odchylka je rovna vzdálenosti mezi bodem a přímkou ; je kladné, pokud bod a počátek leží na opačných stranách úsečky, a záporné, pokud jsou na stejné straně. $C.$

V prostoru vzdálenost od bodu k přímce daná parametrickou rovnicí $(x_{1},\;y_{1},\;z_{1})$

{\begin{cases}x=x_{0}+t\alpha ,\\y=y_{0}+t\beta ,\quad t\in \mathbb{R} \\z=z_{0}+t \gamma ,\end{cases}}

lze nalézt jako minimální vzdálenost od daného bodu k libovolnému bodu na přímce. Koeficient tohoto bodu lze zjistit vzorcem $t$

t_{\min }={\frac {\alpha (x_{1}-x_{0})+\beta (y_{1}-y_{0})+\gamma (z_{1}-z_{0} )}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}.

Vzájemné uspořádání několika přímek v rovině

Dvě přímky dané rovnicí

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0

nebo

y=k_{1}x+b_{1},\quad y=k_{2}x+b_{2}

protínají v bodě

x={\frac {B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {b_ {1}-b_{2}}{k_{2}-k_{1}}},\quad y={\frac {C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}}{A_ {1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {k_{2}b_{1}-k_{1}b_{2}}{k_{2}-k_{1 }}}.

Úhel mezi protínajícími se čarami je dán vztahem $\gamma _{{12}}$

{\mathrm {tg}}\,\gamma _{{12}}={\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+ B_{1}B_{2))}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.

V tomto případě se termín vztahuje k úhlu, o který musí být první přímka (zadaná parametry , , , a ) otočena proti směru hodinových ručiček kolem průsečíku, dokud se poprvé neshoduje s druhou přímkou. $\gamma _{{12}}$ $A_{1}$ $B_1$ $C_{1}$ $k_{1}$ $b_{1}$

Tyto čáry jsou rovnoběžné jestliže nebo , a kolmé jestliže nebo . $A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0$ $k_{1}=k_{2}$ $A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0$ $k_{1}=-{\frac {1}{k_{2))}$

Libovolná přímka rovnoběžná s přímkou s rovnicí může být vyjádřena rovnicí. V tomto případě bude vzdálenost mezi těmito přímkami rovna $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,$ $A_{1}x+B_{1}y+C=0.$

\delta=\frac{C_1-C}{\pm\sqrt{A_1^2+B_1^2));

Pokud je rovnice přímky dána jako a rovnice přímky je s ní rovnoběžná , lze vzdálenost vypočítat jako $y_1=kx_1+b_1$ $y=kx+b$

\delta=\frac{|b_1-b|}{\sqrt{1+k^2}}.

Pokud je znaménko před radikálem opačné, pak bude kladné, když druhá čára a počátek leží na opačných stranách první čáry. $C_{1},$ $\delta$

Aby byly tři rovné

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,\quad A_{3}x+B_{ 3}y+C_{3}=0

protínají v jednom bodě nebo jsou navzájem rovnoběžné, je nutné a postačující, aby podm

{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatrix }}=0.

Jestliže a , pak čáry a jsou kolmé na . $A_{2}=-B_{1}$ $B_{2}=A_{1}$ $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0$ $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0$

Některé speciální typy čar

Poznámky

↑ Coxeter, 1969 , str. čtyři
↑ Matematická encyklopedie, 1984 , str. 721-722.
↑ Proclus Diadochus. Komentář k první knize Euklidových „Počátků“ / Univerzita Dmitrije Pozharského. - M. , 2013. - S. 116. - 368 s.
↑ Norden A.P. Krátký kurz diferenciální geometrie. - M .: Fizmatgiz, 1958. - S. 214-215. — 244 s.
↑ Faber, Příloha B, str. 300.
↑ Gusyatnikov P.B., Rezničenko S.V. Vektorová algebra v příkladech a problémech . - M . : Vyšší škola , 1985. - 232 s.

Literatura

Markushevich AI Pozoruhodné křivky , Populární přednášky o matematice . - Číslo 4. - Gostekhizdat , 1952 - 32 stran.
Přímá // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M . : Sovětská encyklopedie , 1984. - T. 4.
Coxeter, HSM (1969), Úvod do geometrie (2. vyd.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
Faber, Richard L. (1983), Základy euklidovské a neeuklidovské geometrie , New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
Pedoe, Dan (1988), Geometrie: Komplexní kurz , Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
Wylie, Jr., C. R. (1964), Základy geometrie , New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2

Odkazy

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Skvělý norský Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4156780-8

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius

Kuželosečky
Hlavní typy	Elipsa Hyperbola Parabola
Degenerovat	Tečka Rovný Dvojice rovných čar
Zvláštní případ elipsy	Kruh
Geometrické konstrukce	kuželosečka Pampeliškové kuličky Steinerův design
viz také	Kuželová konstanta
Matematika • Geometrie