Přímka je jedním ze základních pojmů euklidovské geometrie . V systematické prezentaci geometrie jsou přímky obvykle brány jako jeden z původních ( nedefinovatelných ) pojmů [1] , jejich vlastnosti a souvislost s jinými pojmy (například body a roviny ) jsou určeny axiomy geometrie [2]. .
Přímka je spolu s kruhem jedním z nejstarších geometrických útvarů. Starověcí geometrové považovali tyto dvě křivky za „dokonalé“, a proto uznávali pouze konstrukce s kružníkem a pravítko . Euclid popsal čáru jako „délku bez šířky“, která „leží stejně na všech jejích bodech“ [3] .
Analogy čar lze také definovat v některých typech neeuklidovských prostorů. Pokud je základem pro konstrukci geometrie koncept vzdálenosti mezi dvěma body v prostoru, pak lze úsečku přímky definovat jako nejkratší křivku spojující tyto body. Například, v Riemannian geometrii , roli přímek hrají geodesics , který jsou nejkratší linky; na kouli jsou oblouky velkých kružnic nejkratšími oblouky [4] .
Úseky přímky ohraničené dvěma jejími body se nazývají úsečky .
Obecná rovnice přímky v rovině v kartézských souřadnicích je :
kde a jsou libovolné konstanty a konstanty a se zároveň nerovnají nule.
V , je čára rovnoběžná s osou , v , je rovnoběžná s osou .
Vektor se souřadnicemi se nazývá normálový vektor, je kolmý k přímce.
V , čára prochází počátkem souřadnic .
Rovnici lze také přepsat jako
Rovnice přímky, která protíná osu v bodě a svírá s kladným směrem osy úhel :
Koeficient se nazývá sklon přímky.
V této podobě není možné znázornit přímku rovnoběžnou s osou (Někdy se v tomto případě formálně říká, že sklon „jde do nekonečna“.)
Rovnice přímky protínající osu v bodě a osu v bodě :
V této podobě je nemožné znázornit přímku procházející počátkem.
kde je délka kolmice svržené na přímku od počátku a je úhel (měřený v kladném směru) mezi kladným směrem osy a směrem této kolmice. Jestliže , pak úsečka prochází počátkem a úhel určuje úhel sklonu úsečky.
Odvození normální rovnice přímkyNechť je pak dána přímka a uvažujme její ort pro tuto kolmici Předpokládejme, že úhel mezi a osou je Od té doby můžeme psát: Nyní uvažujme libovolný bod Nakreslíme vektor poloměru Nyní najdeme projekci na vektor . je normální rovnice přímky. ■
Je-li přímka dána obecnou rovnicí, pak segmenty a jí odříznuté segmenty na osách, úhlový koeficient je vzdálenost přímky od počátku souřadnic a jsou vyjádřeny pomocí koeficientů , a jak následuje:
Aby se předešlo nejistotě, je znaménko před radikálem zvoleno tak, aby byla splněna podmínka V tomto případě a jsou směrové kosiny kladné normály přímky - kolmice klesla z počátku na přímku. Pokud pak přímka prochází počátkem a volba kladného směru je libovolná.
Jsou-li dány dva neshodné body se souřadnicemi a , pak je přímka, která jimi prochází, dána rovnicí
nebo
nebo obecně
Vektorová parametrická rovnice přímky je dána vektorem, jehož konec leží na přímce, a směrovým vektorem přímky , který prochází všemi reálnými hodnotami .
Parametrické rovnice přímky lze zapsat jako:
kde je libovolný parametr, jsou souřadnice a směrový vektor přímky. V čem
Význam parametru je podobný jako parametr ve vektorově parametrické rovnici.
Kanonická rovnice se získá z parametrických rovnic dělením jedné rovnice druhou:
Závěrkde jsou souřadnice jak směrového vektoru přímky , tak souřadnice bodu náležejícího k přímce.
Rovnice přímky v polárních souřadnicích a :
nebo
Tangenciální rovnice přímky na rovině:
Čísla a se nazývají jeho tangenciální , lineární nebo Plückerovy souřadnice .
Vektorová parametrická rovnice přímky v prostoru:
kde je vektor poloměru nějakého pevného bodu ležícího na přímce, je nenulový vektor kolineární k této přímce (nazývaný její směrový vektor), je vektor poloměru libovolného bodu na přímce.
Parametrické rovnice přímky v prostoru:
kde jsou souřadnice nějakého pevného bodu ležícího na přímce; jsou souřadnice vektoru kolineární k této přímce.
Kanonická rovnice přímky v prostoru:
kde jsou souřadnice nějakého pevného bodu ležícího na přímce; jsou souřadnice vektoru kolineární k této přímce.
Obecná vektorová rovnice přímky[ objasnit ] ve vesmíru:
Protože přímka je průsečíkem dvou různých rovin , daný obecnými rovnicemi : apak rovnice přímky může být dána soustavou těchto rovnic:
Vektorová rovnice přímky v prostoru [6] :196-199 :
Rovnici přímky v prostoru lze zapsat jako vektorový součin vektoru poloměru libovolného bodu této přímky a pevného směrového vektoru přímky :kde fixní vektor , ortogonální k vektoru , lze nalézt dosazením vektoru poloměru kteréhokoli známého bodu čáry do této rovnice.
Tři body , a leží na stejné lince tehdy a jen tehdy, když je podmínka
Odchylku bodu od přímky lze zjistit vzorcem
kde znaménko před radikálem je opačné než znaménko Modulo odchylka je rovna vzdálenosti mezi bodem a přímkou ; je kladné, pokud bod a počátek leží na opačných stranách úsečky, a záporné, pokud jsou na stejné straně.
V prostoru vzdálenost od bodu k přímce daná parametrickou rovnicí
lze nalézt jako minimální vzdálenost od daného bodu k libovolnému bodu na přímce. Koeficient tohoto bodu lze zjistit vzorcem
Dvě přímky dané rovnicí
nebo
protínají v bodě
Úhel mezi protínajícími se čarami je dán vztahem
V tomto případě se termín vztahuje k úhlu, o který musí být první přímka (zadaná parametry , , , a ) otočena proti směru hodinových ručiček kolem průsečíku, dokud se poprvé neshoduje s druhou přímkou.
Tyto čáry jsou rovnoběžné jestliže nebo , a kolmé jestliže nebo .
Libovolná přímka rovnoběžná s přímkou s rovnicí může být vyjádřena rovnicí. V tomto případě bude vzdálenost mezi těmito přímkami rovna
Pokud je rovnice přímky dána jako a rovnice přímky je s ní rovnoběžná , lze vzdálenost vypočítat jako
Pokud je znaménko před radikálem opačné, pak bude kladné, když druhá čára a počátek leží na opačných stranách první čáry.
Aby byly tři rovné
protínají v jednom bodě nebo jsou navzájem rovnoběžné, je nutné a postačující, aby podm
Jestliže a , pak čáry a jsou kolmé na .
Slovníky a encyklopedie | |
---|---|
V bibliografických katalozích |
Křivky | |||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Definice | |||||||||||||||||||
Transformováno | |||||||||||||||||||
Nerovinné | |||||||||||||||||||
Plochá algebraika |
| ||||||||||||||||||
Ploché transcendentální |
| ||||||||||||||||||
fraktál |
|
Kuželosečky | |
---|---|
Hlavní typy | |
Degenerovat | |
Zvláštní případ elipsy | Kruh |
Geometrické konstrukce | |
viz také | Kuželová konstanta |
Matematika • Geometrie |