Eulerova linie

Eulerova čára je přímka procházející středem kružnice opsané a ortocentrem trojúhelníku .

Vlastnosti

• Eulerova čára prochází:
  • Střed trojúhelníku
  • Trojúhelníkové ortocentrum
  • Průsečík odvěsnic ke stranám trojúhelníku (střed opsané kružnice)
  • Devítibodový střed kruhu
  • Exeter Point X(22)
  • Eulerova věta. Průsečík střednic M leží na Eulerově přímce a rozděluje úsečku mezi středem kružnice opsané O a ortocentrem H v poměru 1:2 ( ).
  • Přímka procházející dvěma body Vecten a protíná Eulerovu čáru ve středu devíti bodů trojúhelníku .
  • Rovnice Eulerovy přímky v trilineárních souřadnicích je

• Průsečíky čar obsahujících strany ortotrojúhelníku s čarami obsahujícími strany trojúhelníku také leží na stejné čáře . Tato přímka se nazývá ortocentrická osa a je kolmá k Eulerově přímce.

• Schifflerova věta říká následující: Uvažujeme-li tři trojúhelníky BCI , CAI a ABI v trojúhelníku ABC se středem kružnice vepsané I , pak jejich tři ( první ) Eulerovy přímky, stejně jako ( první ) Eulerova přímka trojúhelníku ABC (všechny čtyři přímky) se protínají v jednom bodě — v Schifflerově bodě Sp (viz obrázek vpravo).

Druhá Eulerova linie (Euler-Nagelova linie)

Výše uvedená Eulerova linie se někdy nazývá (první) zobecněná Eulerova linie [1] . Na tomto řádku jsou 4 body:

• těžiště daného trojúhelníku _ _ _ _ _
• ortocentrum daného trojúhelníku ABC
• střed opsané kružnice daného trojúhelníku ABC (je zároveň středem Eulerovy kružnice antikomplementárního trojúhelníku A"B"C" )
• střed Eulerovy kružnice daného trojúhelníku ABC
• Někteří autoři (viz obrázek na faculty.evansville.edu ) přidávají další Longchampův bod L - bod odrazu ortocentra trojúhelníku ABC vzhledem k jeho středu opsané kružnice (L= bod de Longchamps = posun není podle pravidel ), kterou představil francouzský matematik Gaston Albert Gohierre. Tento bod je ortocentrem antikomplementárního trojúhelníku [2] [3] .

Druhá Eulerova čára nebo Euler-Nagelova čára je definována následujícím Huzelovým teorémem .

• Huselův teorém zpřesněn (Housel). Těžiště ( G ) daného trojúhelníku ABC ( těžiště ), střed kružnice ( I ), její Nagelův bod ( M ) a střed ( S ) kružnice vepsané do doplňkového trojúhelníku A'B 'C' (nebo Spiekerův střed ) leží na jedné přímce . Navíc [4 ]

Označená čára se někdy nazývá druhá Eulerova čára nebo čára Euler–Nagel . Na tomto řádku jsou 4 body:

• těžiště ( G ) daného trojúhelníku (je také těžištěm komplementárního trojúhelníku a je také těžištěm antikomplementárního trojúhelníku ).
• Nagelův bod ( M ) daného trojúhelníku ABC (je zároveň středem kružnice vepsané do antikomplementárního trojúhelníku A"B"C" )
• střed kružnice ( I ) daného trojúhelníku ABC
• střed ( S ) kruhu vepsaného do doplňkového trojúhelníku A'B'C' , nazývaného také Spiekerův střed .

• Všechny zobecněné Eulerovy přímky nutně procházejí těžištěm daného trojúhelníku, což je jak těžiště komplementárního trojúhelníku , tak i antikomplementární trojúhelník .

Gossardova perspektiva a Eulerovy linie

Pokud vezmeme libovolnou dvojici stran trojúhelníku ABC a vezmeme první Eulerovu čáru trojúhelníku ABC jako třetí stranu , pak lze sestavit tři trojúhelníky výčtem tří možností. Jejich první Eulerovy čáry tvoří trojúhelník AgBgCg shodný s trojúhelníkem ABC (jemu rovný, ale otočený o nějaký úhel). Tři páry segmentů spojujících podobné vrcholy těchto dvou shodných trojúhelníků se protnou v bodě Pg, který se nazývá Gossardova perspektiva .

Odkaz

Gossard Perspector http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html

Historie

Eulerův teorém byl dokázán v roce 1765 L. Eulerem . Pak také objevil skutečnost, že středy stran trojúhelníku a základny jeho výšek leží na stejné kružnici - Eulerově kružnici .

Viz také

• Seznam objektů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi
• Přímý Ober
• Simsonova přímka

Poznámky

1. ↑ Zetel, 1962 , str. 153.
2. ↑ archive.lib.msu.edu . Datum přístupu: 4. září 2015. Archivováno z originálu 2. června 2013. (neurčitý)
3. ↑ faculty.evansville.edu . Získáno 4. září 2015. Archivováno z originálu 10. února 2007. (neurčitý)
4. ↑ A. Bogomolny Nagel Line z Interactive Mathematics Miscellany and  Puzzles . Získáno 8. dubna 2019. Archivováno z originálu 10. května 2012.

Literatura

• Leonhard Euler . Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum // Novi Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae. 1767, v. 11. - S. 103-123. Přetištěno v Opeře Omnia, ser. I, sv. XXVI, str. 139-157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, MR0061061.
• Dm. Efremov. Nová trojúhelníková geometrie . - 1902.
• Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nová setkání s geometrií. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Knihovna matematického kroužku).
• Volitelný kurz matematiky. 7-9 / Komp. I. L. Nikolskaja. - M . : Vzdělávání , 1991. - S. 96-97. — 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 . .
• Zetel S.I. Nová trojúhelníková geometrie. Průvodce pro učitele. 2. vydání .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - 153 s.